Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）求證：BE＝BC；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，并延長(zhǎng)CF交AE于點(diǎn)G，連接OG．若BF＝3，CF＝6，求四邊形BOGE的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）3+21．

【解析】

（1）利用平行線等分線段定理證明即可．

（2）根據(jù)勾股定理得BC＝，易證△CBF∽△DBC，得BD＝15，根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)得OG＝，利用平行線等分線段定理得BE＝3，由中位線的性質(zhì)得EG＝6，進(jìn)而即可求解．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴OC＝OA，

∵OB∥AE，

∴BC＝BE；

（2）∵CF⊥BD，

∴∠CFB＝90°，

在Rt△BCF中，BC＝，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD＝90°＝∠BFC，AC＝BD，

∵∠CBF＝∠DBC，

∴△CBF∽△DBC，

∴，

∴BD＝＝15，OB＝OD＝，

∴AC＝BD＝15，

∵CF⊥BD，BD∥AE，

∴CG⊥AE，

∴∠AGC＝90°，

∵OC＝OA，

∴OG＝AC＝，

∵OC＝OA，OF∥AG，

∴CF＝FG，

∴BC＝BE＝3，

∴EG＝2BF＝6，

∴四邊形BOGE的周長(zhǎng)＝3+6++＝3+21．