Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求出A、B的坐標(biāo)和△ABC的面積；
（2）在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最��？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連接BC，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，
①點(diǎn)P在線段BC上移動(dòng)的過(guò)程中，四邊形PEDF是否能成為平行四邊形？若能，求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②是否存在一點(diǎn)P，使△BCF的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△BCF的面積最大值．若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式即可求得A、B、C、D的坐標(biāo)，以AB為底，OC為高可求出△ABC的面積；
（2）根據(jù)拋物線的解析式，易求得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程；在△QCA中，AC的長(zhǎng)為定值，若△QAC的周長(zhǎng)最小，則QC+QA的長(zhǎng)度最�。灰阎狝、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，若連接BC，那么Q點(diǎn)必為BC與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，可根據(jù)B、C的坐標(biāo)求出直線BC的解析式，聯(lián)立拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程即可得到Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)直線BC的解析式及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得DE的長(zhǎng)；可設(shè)出F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式分別表示出P、F的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求得PF的長(zhǎng)；
①若四邊形PEDF是平行四邊形，那么PF與DE平行且相等，已知了PF與DE都平行于y軸，令它們的表達(dá)式相等，即可求出此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)；
②以PF為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，可求出△FCB的面積表達(dá)式，由此可得到關(guān)于△FCB和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所對(duì)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可求出S的最大值，及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）拋物線y=-x²+2x+3中，令y=0，
則有-x²+2x+3=0，
解得x=-1，x=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；
令x=0，得y=3，
∴C（0，3）；
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；
∴D（1，4），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1；
由于A、B關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，連接BC，
則點(diǎn)Q即為直線BC與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)；
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有：

3k+b=0 b=3

，
解得；

k=-1 b=3

∴直線BC的解析式為y=-x+3；
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2；
∴Q（1，2）；

（3）設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m²+2m+3），則P（m，-m+3）；
易知：D（1，4），E（1，2）；
∴DE=2，PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m；
①由于PF∥DE，若四邊形PFDE是平行四邊形，則PF=DE，
即：-m²+3m=2，
解得m=1（舍去），m=2；
∴P（2，1）；
故四邊形PFDE能夠成為平行四邊形，此時(shí)P（2，1）；
②設(shè)△BFC的面積為S，則有：
S=

1

2

PF•x_B=

1

2

×（-m²+3m）×3=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

；
∴當(dāng)m=

3

2

時(shí)，Smax=

27

8

，此時(shí)P（

3

2

，

3

2

）；
故△BFC的面積存在最大值

27

8

，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（

3

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法、因此函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、圖形面積的求法、平行四邊形的判定等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度偏大．