【題目】如圖,PA是⊙O的切線,切點為A,AC是⊙O的直徑,連接OP交⊙O于E.過A點作AB⊥PO于點D,交⊙O于B,連接BC,PB.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)求證:E為△PAB的內(nèi)心;
(3)若cos∠PAB=,BC=1,求PO的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)PO=5
【解析】
(1)連結(jié)OB,如圖1,由AC為⊙O的直徑可得∠ABC=90°,進(jìn)而得PO∥BC,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和等量代換可得∠AOP=∠POB,再根據(jù)SAS證明△AOP≌△BOP,可得∠OBP=∠OAP,易知∠OAP=90°,進(jìn)一步即可證得結(jié)論;
(2)連結(jié)AE,如圖2,根據(jù)切線長定理可得PD平分∠APB,只要根據(jù)切線的性質(zhì)和等角的余角相等證明EA平分∠PAD,然后即可根據(jù)三角形內(nèi)心的概念證得結(jié)論;
(3)易得∠PAB=∠C,然后在直角△ABC中根據(jù)余弦的定義可求出AC、OA,易證△PAO∽△ABC,進(jìn)而可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,再代入計算即可.
解:(1)證明:連結(jié)OB,如圖1,
∵AC為⊙O的直徑,
∴∠ABC=90°,
∵AB⊥PO,
∴PO∥BC,
∴∠AOP=∠C,∠POB=∠OBC,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠C,
∴∠AOP=∠POB,
在△AOP和△BOP中,∵OA=OB,∠AOP=∠POB,PO=PO,
∴△AOP≌△BOP(SAS),
∴∠OBP=∠OAP,
∵PA為⊙O的切線,
∴∠OAP=90°,
∴∠OBP=90°,
∴PB是⊙O的切線;
(2)證明:連結(jié)AE,如圖2,
∵PA為⊙O的切線,
∴∠PAE+∠OAE=90°,
∵AD⊥ED,
∴∠EAD+∠AED=90°,
∵OE=OA,
∴∠OAE=∠AED,
∴∠PAE=∠DAE,
即EA平分∠PAD,
∵PA、PB為⊙O的切線,
∴PD平分∠APB,
∴E為△PAB的內(nèi)心;
(3)解:∵∠PAB+∠BAC=90°,∠C+∠BAC=90°,
∴∠PAB=∠C,
∴cos∠C=cos∠PAB=,
在Rt△ABC中,cos∠C==,
∴AC=,AO=,
∵∠PAO=∠ABC=90°,∠POA=∠ACB,
∴△PAO∽△ABC,
∴,即,
解得:PO=5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠ADC的平分線與AB交于E,點F在DE的延長線上,∠BFE=90°,連接AF、CF,CF與AB交于G.有以下結(jié)論:
①AE=BC
②AF=CF
③BF2=FGFC
④EGAE=BGAB
其中正確的個數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形中,點分別是上的兩個動點(不與點重合),且,延長到,使,連接.
(1)依題意將圖形補(bǔ)全;
(2)小華通過觀察、實驗、提出猜想:在點運(yùn)動過程中,始終有.經(jīng)過與同學(xué)們充分討論,形成了幾種證明的想法:
想法一:連接,證明是等腰直角三角形;
想法二:過點作的垂線,交的延長線于,可得是等腰直角三角形,證明;
……
請參考以上想法,幫助小華證明.(寫出一種方法即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一張矩形紙片 ABCD中,AB=3,點P,Q分別是AB和CD的中點,現(xiàn)將這張紙片折疊,使點D落到PQ上的點G處,折痕為CH,若HG的延長線恰好經(jīng)過點B,則AD的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大家知道烏鴉喝水的故事,如圖,它看到一個水位較低的瓶子,喝不著水,沉思一會后聰明的烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中,水位上升后,烏鴉喝到了水.從烏鴉看到瓶子的那刻起開始計時,設(shè)時間變量為,水位高度變量為,下列圖象中最符合故事情景的大致圖象是( 。
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四邊形是菱形,的兩邊分別與射線相交于點,且
如圖1,當(dāng)點是線段的中點時,求證:;
如圖2,當(dāng)點是線段上任意一點時(點不與重合),求證:;
如圖3,當(dāng)點在線段的延長線上時,設(shè)交于點求證:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩校各選派10名學(xué)生參加“美麗泰州鄉(xiāng)土風(fēng)情知識”大賽預(yù)賽.各參賽選手的成績?nèi)缦拢?/span>
甲校:93,98,89,93, 95,96, 93,96,98, 99;
乙校:93,94,88,91,92,93,100, 98,98,93.
通過整理,得到數(shù)據(jù)分析表如下:
學(xué)校 | 最高分 | 平均分 | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
甲校 | 99 | a | 95.5 | 93 | 8.4 |
乙校 | 100 | 94 | b | 93 | c |
(1)填空:a = ,b = ;
(2)求出表中c的值,你認(rèn)為哪所學(xué)校代表隊成績好?請寫出兩條你認(rèn)為該隊成績好的理由.
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【題目】如圖,菱形ABCD中,對角線AC和BD相交于點O,AC=10,BD=4,動點P在邊AB上運(yùn)動,以點O為圓心,OP為半徑作⊙O,CQ切⊙O于點Q,則在點P運(yùn)動過程中,CQ的長的最大值為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A,B,C的坐標(biāo)分別是(0,4),(4,0),(8,0),⊙M是△ABC的外接圓,則點M的坐標(biāo)為___________.
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