Question

【題目】如圖，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)F在線(xiàn)段EC上，點(diǎn)G在射線(xiàn)CB上，以F，C，G為頂點(diǎn)的三角形與△EDC有一個(gè)銳角相等，FG交CD于點(diǎn)P，問(wèn)：線(xiàn)段CP可能是△CFG的高線(xiàn)還是中線(xiàn)？或兩者都有可能？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】是，理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：分三種情況討論：①若∠CFG1=∠ECD，此時(shí)線(xiàn)段CP是△CFG1的FG1邊上的中線(xiàn)；②若∠CFG2=∠EDC，此時(shí)線(xiàn)段CP為△CFG2的FG2邊上的高線(xiàn)；③當(dāng)CD為∠ACB的平分線(xiàn)時(shí)，CP既是△CFG的FG邊上的高線(xiàn)又是中線(xiàn)．

試題解析：

①若，此時(shí)線(xiàn)段CP1為△CFG1的斜邊FG1上的中線(xiàn).證明如下：

∵，∴.

又∵，∴.

∴. ∴.

又∵，∴. ∴.

∴線(xiàn)段CP1為△CFG1的斜邊FG1上的中線(xiàn).

②若，此時(shí)線(xiàn)段CP2為△CFG2的斜邊FG2上的高線(xiàn).證明如下：

∵，

又∵DE⊥AC，∴. ∴.

∴. ∴CP2⊥FG2.

∴線(xiàn)段CP2為△CFG2的斜邊FG2上的高線(xiàn).

③當(dāng)CD為∠ACB的平分線(xiàn)時(shí)，CP既是△CFG的FG邊上的高線(xiàn)又是中線(xiàn).