Question

已知Rt△ABC的斜邊AB=10cm，AC=6cm．
（1）以點C為圓心，當半徑為多長時，AB與⊙C相切；
（2）以點C為圓心，2cm長為半徑作⊙C，若⊙C以2厘米/秒的速度沿CB由C向B移動，經(jīng)過多長時間⊙C與AB相切？

Answer 1

分析：（1）過點C作CD垂直于AB，根據(jù)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得出圓C與AB相切時，CD為此時圓C的半徑，在直角三角形ABC中，由AB及AC的長，利用勾股定理求出BC的長，由直角三角形的面積可以由斜邊AB與高CD乘積的一半來，也可以由兩直角邊乘積的一半來求，可得出CD的長，即為AB與圓C相切時的半徑；
（2）如圖所示，當圓心C與點E重合時，圓C與AB相切，切點為點F，連接EF，由切線的性質得到EF垂直于AB，且EF等于圓C的半徑，由一對直角相等，且一對公共角相等，根據(jù)兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形BEF與三角形ABC相似，由相似得比例，將AC，AB，EF的長代入求出EB的長，再由CB-EB求出CE的長，即為圓心C運動的路程，用路程除以速度，即可求出圓C與AB相切時所用的時間．

解答：解：（1）過C作CD⊥AB，交AB于點D，如圖所示：

Rt△ABC的斜邊AB=10cm，AC=6cm，
根據(jù)勾股定理得：BC=

AB2-AC2

=8cm，
∵S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC，
∴CD=

AC•BC

AB

=4.8cm，
則以點C為圓心，當半徑為4.8cm時，AB與⊙C相切；

（2）當點C與E重合時，⊙C與AB相切，如圖所示：

連接EF，則EF⊥AB且EF=2cm，又AC⊥CB，
∴∠EFB=∠ACB=90°，又∠EBF=∠ABC，
∴△BEF∽△BAC，
∴

EF

AC

=

EB

AB

，又EF=2cm，AC=6cm，AB=10cm，
∴EB=

EF•AB

AC

=

10

3

（cm），
∴CE=CB-EB=8-

10

3

=

14

3

（cm），又點C的速度為2厘米/秒，
∴點C運動的時間為

14

3

÷2=

7

3

（秒），
則經(jīng)過

7

3

秒⊙C與AB相切．

點評：此題考查了切線的性質，涉及的知識有：勾股定理，相似三角形的判定與性質，三角形的面積求法，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題的關鍵．