Question

AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）DE能否與⊙O相切，為什么？

Answer 1

解：（1）△ABC是等腰三角形．
理由：∵AB是⊙O的直徑
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
又BD=CD（已知），
∴AD是BC的垂直平分線
∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；

（2）連接OD．
∵點O、D分別是AB、BC的中點
∴OD∥AC；
∴又DE⊥AC
∴OD⊥DE
∴DE為⊙O的切線．（6分）
分析：（1）連接AD，構造直角三角形ADB．由已知條件“DC=BD”、AD⊥BC、以及等腰三角形的“三線合一”的性質判定△ABC是等腰三角形；
（2）連接OD，構造△ABC的中位線OD．利用三角形中位線定理知OD∥AC；然后根據已知條件“DE⊥AC”、平行線的性質知OD⊥DE，即DE為⊙O的切線．
點評：本題考查了圓周角定理、切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．