Question

（2004•蘇州）如圖，⊙O₂與⊙O₁的弦BC切于C點，兩圓的另一個交點為D，動點A在⊙O₁上，直線AD與⊙O₂交于點E，與直線BC交于點F．
（1）如圖①，當A在弧CD上時，求證：①△FDC∽△FCE；②AB∥EC；
（2）如圖②，當A在弧BD上時，是否仍有AB∥EC？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）①在△FDC與△FCE中，由弦切角定理得：∠D=∠FCE，已知公共角∠F，由此可判定兩三角形相似，②根據平行線的判定，只需證明∠FCE=∠B；①中證得∠D=∠FCE，而⊙O₁中，根據圓周角定理，可得∠D=∠B，將等角代換可得出∠B=∠FCE，由此得證；
（2）根據平行線的判定，只需證明∠FCE=∠FBA，思路同（1）②，根據圓內接四邊形的性質，得∠FBA=∠FDC；由弦切角定理，得∠FCE=∠FDC，將等角代換后可證得所求的結論．
解答：（1）證明：
①∵BC為⊙O₂的切線
∴∠D=∠FCE
又∠F=∠F
∴△FDC∽△FCE，
②在⊙O₁中，∠B=∠D
又∠FCE=∠B
∴AB∥EC；

（2）解：仍有AB∥EC．
證明：∵四邊形ABCD是⊙O₁的內接四邊形
∴∠FBA=∠FDC
∵BC為⊙O₂的切線
∴∠FCE=∠FDC
∴∠FCE=∠FBA
∴AB∥EC．
點評：本題主要考查弦切角定理，相似三角形的判定及平行線的判定，難度適中．