Question

已知∠MAN=135°，正方形ABCD繞點A旋轉．

（1）當正方形ABCD旋轉到∠MAN的外部（頂點A除外）時，AM，AN分別與正方形ABCD的邊CB，CD的延長線交于點M，N，連接MN．

①如圖1，若BM=DN，則線段MN與BM+DN之間的數量關系是　MN=BM+DN　；

②如圖2，若BM≠DN，請判斷①中的數量關系是否仍成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（2）如圖3，當正方形ABCD旋轉到∠MAN的內部（頂點A除外）時，AM，AN分別與直線BD交于點M，N，探究：以線段BM，MN，DN的長度為三邊長的三角形是何種三角形，并說明理由．

Answer 1

解：（1）①如圖1，若BM=DN，則線段MN與BM+DN之間的數量關系是MN=BM+DN．理由如下：

在△ADN與△ABM中，

，

∴△ADN≌△ABM（SAS），

∴AN=AM，∠NAD=∠MAB，

∵∠MAN=135°，∠BAD=90°，

∴∠NAD=∠MAB=（360°﹣135°﹣90°）=67.5°，

作AE⊥MN于E，則MN=2NE，∠NAE=∠MAN=67.5°．

在△ADN與△AEN中，

，

∴△ADN≌△AEN（AAS），

∴DN=EN，

∵BM=DN，MN=2EN，

∴MN=BM+DN．

故答案為MN=BM+DN；

②如圖2，若BM≠DN，①中的數量關系仍成立．理由如下：

延長NC到點P，使DP=BM，連結AP．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°．

在△ABM與△ADP中，

，

∴△ABM≌△ADP（SAS），

∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，

∵∠1+∠4=90°，

∴∠3+∠4=90°，

∵∠MAN=135°，

∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）=360°﹣135°﹣90°=135°．

在△ANM與△ANP中，

，

∴△ANM≌△ANP（SAS），

∴MN=PN，

∵PN=DP+DN=BM+DN，

∴MN=BM+DN；

（2）如圖3，以線段BM，MN，DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形．理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BDA=∠DBA=45°，

∴∠MDA=∠NBA=135°．

∵∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°，

∴∠1=∠3．

在△ANB與△MAD中，

，

∴△ANB∽△MAD，

∴=，

∴AB²=BN•MD，

∵AB=DB，

∴BN•MD=（DB）²=BD²，

∴BD²=2BN•MD，

∴MD²+2MD•BD+BD²+BD²+2BD•BN+BN²=MD²+BD²+BN²+2MD•BD+2BD•BN+2BN•MD，

∴（MD+BD）²+（BD+BN）²=（DM+BD+BN）²，

即MB²+DN²=MN²，

∴以線段BM，MN，DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形．