Question

【題目】如下圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合，三角板的一邊交于點(diǎn)．另一邊交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

（1）觀察猜想：線段與線段的數(shù)量關(guān)系是 ；

（2）探究證明：如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)始終在正方形的對(duì)角線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立．請(qǐng)說(shuō)明理由：

（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其他條件不變，若、，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，證明過(guò)程見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）利用三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得；

（2）如圖（見(jiàn)解析），過(guò)點(diǎn)分別作，垂足分別為，證明方法與題（1）相同；

（3）如圖（見(jiàn)解析），過(guò)點(diǎn)分別作，垂足分別為，先同（2）求出，從而可證，由相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求出的值，即可得出答案.

（1），理由如下：

由直角三角板和正方形的性質(zhì)得

在和中，

；

（2）成立，證明如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)分別作，垂足分別為，則四邊形是矩形

由正方形對(duì)角線的性質(zhì)得，為的角平分線

則

在和中，

；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)分別作，垂足分別為

同（2）可知，

由長(zhǎng)方形性質(zhì)得：

，即

在和中，

.