Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的包裝盒(A、B、C、D四個(gè)頂點(diǎn)正好重合于底面上一點(diǎn))．已知E、F在AB邊上，是被剪去一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝BF＝xcm．

(1)若折成的包裝盒恰好是正方體，試求這個(gè)包裝盒的體積V；

(2)某廣告商要求包裝盒的表面(不含下底面)面積S最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？

Answer 1

【答案】（1）432 ；（2）384.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知得出這個(gè)正方體的底面邊長(zhǎng)NQ=ME=x，EF=ME=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出這個(gè)包裝盒的體積V；

（2）利用已知表示出包裝盒的表面，進(jìn)而利用函數(shù)最值求出即可．

解：（1）根據(jù)題意，設(shè)AE=BF=x（cm），折成的包裝盒恰好是個(gè)正方體，

知這個(gè)正方體的底面邊長(zhǎng)NQ=ME=x，則QE=QF=x，故EF=ME=2x，

∵正方形紙片ABCD邊長(zhǎng)為24cm，

∴x+2x+x=24，

解得：x=6，

則正方體的底面邊長(zhǎng)a=6，

V=a3==432（cm3）；

答：這個(gè)包裝盒的體積是432cm3；

（2）設(shè)包裝盒的底面邊長(zhǎng)為acm，高為hcm，則a=，h=，

∴S=4ah+a2=4x（12﹣x）+=﹣6x2+96x=﹣6（x﹣8）2+384，

∵0＜x＜12，

∴當(dāng)x=8時(shí)，S取得最大值384cm2．