Question

在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，O為AB上一點，AO=m，⊙O的半徑r=

1

2

，問m在什么范圍內取值時，AC與圓：
（1）相離；
（2）相切；
（3）相交．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，過O作OD⊥AC，可得出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠AOD為30°，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OD，
（1）若圓O與AC相離，則有OD大于r，列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍；
（2）若圓O與AC相切，則有OD=r，求出m的值即可；
（3）若圓O與AC相交，則有OD小于r，列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，過O作OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠B=30°，
在Rt△AOD中，OA=m，∠AOD=30°，
∴OD=OAcos30°=

3

2

m，
（1）若圓O與AC相離，則有OD＞r，即

3

2

m＞

1

2

，
解得：m＞

3

3

，
則當m＞

3

3

時，圓O與AC相離；
（2）若圓O與AC相切，則有OD=r，即

3

2

m=

1

2

，
解得：m=

3

3

，
則當m=

3

3

時，圓O與AC相切；
（3）若圓O與AC相交，則有0＜OD＜r，即0＜

3

2

m＜

1

2

，
解得：0＜m＜

3

3

，
則當0＜m＜

3

3

時，圓O與AC相交．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，直線與圓的位置關系由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系來判斷．