Question

（2012•北塘區(qū)二模）聰聰?shù)陌职质枪╇姽�司的線路設(shè)計(jì)師，公司準(zhǔn)備在輸電主干線l上連接一個(gè)分支線路，為新建的兩個(gè)小區(qū)M、N同時(shí)輸電．聰聰?shù)陌职衷O(shè)想了兩種情況：①當(dāng)小區(qū)M、N分別位于主干線l的兩側(cè)時(shí)，如圖（一）；②當(dāng)小區(qū)M、N分別位于主干線l的同側(cè)時(shí)，如圖（二）；
（1）如果是圖（一）的情況，請(qǐng)你幫助聰聰?shù)陌职衷O(shè)計(jì)，分支線路連接點(diǎn)P在什么地方時(shí)分支線路最短，并在圖（一）中標(biāo)出點(diǎn)P的位置．（保留作圖痕跡）
（2）如果是圖二的情況，假設(shè)兩小區(qū)相距2公里，M、N小區(qū)分別到主干線l的距離分別為2公里和1公里，請(qǐng)你幫助聰聰?shù)陌职钟?jì)算一下分支線路最短的長(zhǎng)度是

2

3

公里．（結(jié)果保留根號(hào)）
（3）經(jīng)過(guò)實(shí)地考察測(cè)量，情況比設(shè)想的復(fù)雜．如圖（三）所示，此段的主干線l在一段河堤AB上，河堤AB與CD平行，河寬0.5公里，小區(qū)M到河堤AB的距離為2公里，小區(qū)N到河堤CD的距離為1公里，兩小區(qū)M、N的連線與主干線l所夾銳角恰好為45°，并且根據(jù)架線要求，當(dāng)線路通過(guò)河道時(shí)，要求線路與河堤垂直．
①請(qǐng)你幫助聰聰?shù)陌职衷O(shè)計(jì)出最短的分支線路，并畫(huà)出示意圖．（要求：標(biāo)注字母，保留痕跡，用字母說(shuō)明具體線路）
②根據(jù)所畫(huà)示意圖計(jì)算最短線路有多長(zhǎng)？（要求：寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程，結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接MN，與l的交點(diǎn)就是P點(diǎn)；
（2）作N關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接MN′，MN′就是最短路線，作MO⊥L，并延長(zhǎng)到C，使OC=1，過(guò)N作NF⊥MO，利用勾股定理計(jì)算出•NF的長(zhǎng)，再利用勾股定理計(jì)算出MN′的長(zhǎng)即可；
（3）①如圖（三）所示：利用平行四邊形的性質(zhì)得出，線路ME-EF-FN為最短的線路；
②首先過(guò)點(diǎn)P作PO⊥l，過(guò)點(diǎn)N作NO∥l相交于O，連接MN，利用勾股定理求出PN的長(zhǎng)，即可得出ME+EF+FN的長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖（一）所示：


（2）如圖（二），作N關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，連接MN′，MN′就是最短路線，
作MO⊥L，并延長(zhǎng)到C，使OC=1，過(guò)N作NF⊥MO，由題意得：MO=2，NO=N′O=2，MN=2，
則MF=2-1=1，
N′C=FN=

22-12

=

3

，
N′M=

MC2+N′C2

=

9+3

=2

3

（公里）；

（3）①如圖（三）所示：線路ME-EF-FN為最短的線路；

②過(guò)點(diǎn)P作PO⊥l，過(guò)點(diǎn)N作NO∥l相交于O，連接MN．
在Rt△MON中，由作圖知OM=3.5km，∠N=45°，
∴NO=3.5km，
∵OP=3km，
∴在Rt△PON中PN=

OP2+ON2

=

85

2

（km），
∴ME+EF+FN=

85 +1

2

（km）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出最短路徑是解題關(guān)鍵．