Question

【題目】（1）問題提出：

如圖①，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，點D，E分別是CB，AB的中點，點F是BD的中點，若AB＝8，AC＝6，則EF＝　 　；

（2）問題探究：

如圖②，已知：M是弓形AB上的中點，AB＝24，弓形AB的高是8，則對應(yīng)⊙O的面積為多少？（結(jié)果保留根號或π）

（3）問題解決：

如圖③，在半徑為5的⊙O中，弦BC＝8，點A為優(yōu)弧BC上的動點，過點A作AD⊥BC于點D，過點B作BE⊥AC于點E．AD和BE交于點P，連接PC，試求△PBC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）169π；（3）證明見解析，點P的運動軌跡是弧線，8．

【解析】

（1）如圖①中，利用勾股定理求出BC，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出AD，利用三角形的中位線定理即可解決問題．
（2）如圖②中，設(shè)圓心為O，連接OM，OB，OM交AB于E．設(shè)OB=r．利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
（3）首先證明∠BPC是定值，推出點P的運動軌跡是弧線，如圖3-2中，當A，O，D共線時，PD定值最大，此時△PBC的面積最大．

解：（1）如圖①中，

在Rt△ABC中，∵AB＝8，AC＝6，

∴BC＝＝10，

∵BD＝CD，

∴AD＝BC＝5，

∵BE＝EA，BF＝FD，

∴EF＝AD＝，

故答案為．

（2）如圖②中，設(shè)圓心為O，連接OM，OB，OM交AB于E．設(shè)OB＝r．

∵

∴OM⊥BA，EM＝8，

∴AE＝EB＝12

在Rt△OEB中，∵OE2+EB2＝OB2

∴（r﹣8）2+122＝r2，

∴r＝13，

∴對應(yīng)⊙O的面積為169π．

（3）如圖3﹣1中，延長CP交AB于F．

∵在半徑為5的⊙O中，弦BC＝8，

∴∠BAC是定值，設(shè)∠BAC＝α，

∵AD，BE是高，

∴CF也是△ABC的高，

∴∠ABE＝∠ACF＝90°﹣α，

∵∠BPD＝∠ABP+∠BAP，∠CPD＝∠ACP+∠CAP，

∴∠BPC＝∠ABP+∠BAP+∠CAP+∠PCA＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，

∴∠BPC是定值，

∴點P的運動軌跡是弧線，

如圖3﹣2中，當A，O，D共線時，PD定值最大，此時△PBC的面積最大．

連接OC，在Rt△ODC中，OD＝＝3，

∴AD＝5+3＝8，AC＝AB＝4，

∵BCAD＝ABCF，

∴CF＝＝，

∴AF＝＝，

∵cos∠BAD＝＝，

∴＝，

∴PA＝6，

∴PD＝AD﹣PA＝2，

∴△PBC的面積的最大值＝×8×2＝8．