【題目】四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AC為對角線,∠ACB=∠ACD
(1)如圖1,求證:AB=AD;
(2)如圖2,點(diǎn)E在AB弧上,DE交AC于點(diǎn)F,連接BE,BE=DF,求證:DF=DC;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)G在BC弧上,連接DG,交CE于點(diǎn)H,連接GE,GF,若DE=BC,EG=GH=5,S△DFG=9,求BC邊的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)如圖1,連接OA,OB,OD,由∠ACB=∠ACD,可得,可得AB=AD;
(2)連接AE,由“SAS”可證△ABE≌△ADF,可得∠BAE=∠DAC,可證BE=CD=DF;
(3)如圖3,過點(diǎn)F作FN⊥GD于N,過點(diǎn)C作CM⊥GD于M,連接GC,通過證明△FDN≌△DCM,可得FN=DM,CM=DN,由面積公式可求FN=2,DM=2,DH=4,通過證明△EGC∽△DMC,△GEH∽△CHD,可得EC=CD,CD2=,由勾股定理可求解.
證明:(1)如圖1,連接OA,OB,OD,
∵∠ACB=∠ACD,∠AOD=2∠ACD,∠AOB=2∠ACB
∴∠AOD=∠AOB
∴
∴AD=AB;
(2)如圖2,連接AE,
∵
∴∠ABE=∠ADE
在△ABE和△ADF中
∴△ABE≌△ADF(SAS)
∴∠BAE=∠DAC
∴
∴BE=DC
∵BE=DF
∴DF=DC;
(3)如圖3,過點(diǎn)F作FN⊥GD于N,過點(diǎn)C作CM⊥GD于M,連接GC,
∵DE=BC,BE=CD,
∴四邊形BCDE是平行四邊形,
∴∠EBC=∠EDC,
∵四邊形BEDC是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠EBC+∠EDC=180°,
∴∠EDC=∠EBC=90°,
∴EC是直徑,
∴∠FGC=∠EDC=90°
∴∠FDN+∠MDC=90°,且∠MDC+∠MCD=90°,
∴∠FDN=∠MCD,且∠FND=∠CMD=90°,DF=DC,
∴△FDN≌△DCM(AAS)
∴FN=DM,CM=DN,
∵EG=GH=5,
∴∠GEH=∠GHE,且∠GHE=∠DHC,∠GEH=∠GDC,
∴∠HDC=∠CHD,
∴CH=CD,且CM⊥DH,
∴DM=MH=FN,
∵S△DFG=9,
∴DG×FN=9,
∴×(5+2FN)×FN=9,
∴FN=2,
∴DM=2,DH=4,
∵∠GEC=∠GDC,∠EGC=∠DMC,
∴△EGC∽△DMC,
∴,
∴EC=CD,且HC=CD,
∴EH=CD,
∵∠EGD=∠ECD,∠GEC=∠GDC,
∴△GEH∽△CHD,
∴,
∴,
∴,
∵EC2﹣CD2=DE2,
∴,
∴,
∴DE=
∴BC=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′位置,此時(shí)AC′的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合,AB′交CD于點(diǎn)E.若AB=6,則△AEC的面積為_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的頂點(diǎn)A與原點(diǎn)O重合,頂點(diǎn)B在直線l上,將正方形沿射線OB方向無滑動(dòng)地翻滾.若直線,正方形邊長為2
(1)翻滾后點(diǎn)A第一次落在直線l上的坐標(biāo)是_____;
(2)當(dāng)正方形翻滾2002次點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是_____.
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【題目】閱讀材料:各類方程的解法
求解一元一次方程,根據(jù)等式的基本性質(zhì),把方程轉(zhuǎn)化為的形式:求解二元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解;類似的,求解三元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為二元一次方程組來解;求解一元二次方程,把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解:求解分式方程,把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解,由于“去分母”可能產(chǎn)生增根,所以解分式方程必須檢驗(yàn).各類方程的解法不盡相同,但是它們有一個(gè)共同的基本數(shù)學(xué)思想一一轉(zhuǎn)化,把未知轉(zhuǎn)化為已知.用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想,我們還可以解一些新的方程.例如,一元三次方程,可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為,解方程和,可得方程的解.利用上述材料給你的啟示,解下列方程;
(1);
(2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AB邊上,連接CE,若∠BCE=2∠BAD,BE=2BD,AE:CD=3:8,S△ABC=39,則AC邊的長為_____.
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【題目】某魚塘中養(yǎng)了某種魚5000條,為了估計(jì)該魚塘中該種魚的總質(zhì)量,從魚塘中捕撈了3次,取得的數(shù)據(jù)如下:
數(shù)量/條 | 平均每條魚的質(zhì)量/kg | |
第1次捕撈 | 20 | 1.6 |
第2次捕撈 | 15 | 2.0 |
第3次捕撈 | 15 | 1.8 |
(1)求樣本中平均每條魚的質(zhì)量;
(2)估計(jì)魚塘中該種魚的總質(zhì)量;
(3)設(shè)該種魚每千克的售價(jià)為14元,求出售該種魚的收入y(元)與出售該種魚的質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系,并估計(jì)自變量x的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線經(jīng)過A(﹣2,0),B(0,﹣2),C(1,0)三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,△AMB的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn),判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一人站在兩等高的路燈之間走動(dòng),為人在路燈照射下的影子,為人在路燈照射下的影子.當(dāng)人從點(diǎn)走向點(diǎn)時(shí)兩段影子之和的變化趨勢是( )
A.先變長后變短B.先變短后變長
C.不變D.先變短后變長再變短
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【題目】如圖,有長為 24m 的籬笆,現(xiàn)一面利用墻(墻的最大可用長度 a 為 10m)圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃,設(shè)花圃的寬 AB 為 xm,面積為 Sm2.
(1) 求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式及 x 值的取值范圍;
(2) 要圍成面積為 45m2 的花圃,AB 的長是多少米?
(3) 當(dāng) AB 的長是多少米時(shí),圍成的花圃的面積最大?
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