【題目】(1)閱讀理解:如圖①,在四邊形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中點(diǎn),若AE是∠BAD的平分線,試判斷AB,AD,DC之間的等量關(guān)系.
解決此問題可以用如下方法:延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,易證△AEB≌△FEC,得到AB=FC,從而把AB,AD,DC轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷.
AB、AD、DC之間的等量關(guān)系為 ;
(2)問題探究:如圖②,在四邊形ABCD中,AB∥DC,AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,E是BC的中點(diǎn),若AE是∠BAF的平分線,試探究AB,AF,CF之間的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(3)問題解決:如圖③,AB∥CF,AE與BC交于點(diǎn)E,BE:EC=2:3,點(diǎn)D在線段AE上,且∠EDF=∠BAE,試判斷AB、DF、CF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)AD=AB+DC;(2)AB=AF+CF,證明見解析;(3)AB=(CF+DF),證明見解析.
【解析】試題分析:(1)延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,證明△AEB≌△FEC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=FC,根據(jù)等腰三角形的判定得到DF=AD,證明結(jié)論;
(2)延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,利用同(1)相同的方法證明;
(3)延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,根據(jù)相似三角形的判定定理得到△AEB∽△GEC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB=CG,計(jì)算即可.
試題解析:(1)如圖①,延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,
∵AB∥DC,∴∠BAF=∠F,
∵E是BC的中點(diǎn),∴CE=BE,
在△AEB和△FEC中, ,∴△AEB≌△FEC,∴AB=FC,
∵AE是∠BAD的平分線,∴∠DAF=∠BAF,∴∠DAF=∠F,∴DF=AD,∴AD=DC+CF=DC+AB,
故答案為:AD=AB+DC;
(2)AB=AF+CF,
證明如下:如圖②,延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,
∵E是BC的中點(diǎn),∴CE=BE,
∵AB∥DC,∴∠BAE=∠G,
在△AEB和△GEC中, ,∴△AEB≌△GEC,∴AB=GC,
∵AE是∠BAF的平分線,∴∠BAG=∠FAG,
∵AB∥CD,∴∠BAG=∠G,∴∠FAG=∠G,∴FA=FG,∴AB=CG=AF+CF;
(3)AB=(CF+DF),
證明如下:如圖③,延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,
∵AB∥CF,∴△AEB∽△GEC,∴=,即AB=CG,
∵AB∥CF,∴∠A=∠G,
∵∠EDF=∠BAE,∴∠FDG=∠G,∴FD=FG,∴AB=CG=(CF+DF).
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(1)該校參加車模、建模比賽的人數(shù)分別是 人和 人:
(2)該校參加航模比賽的總?cè)藬?shù)是 人,空模所在扇形的圓心角的度數(shù)是 ,并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(3)從全市中小學(xué)參加航模比賽選手中隨機(jī)抽取80人,其中有32人獲獎(jiǎng),今年我市中小學(xué)參加航模比賽人共有2485人,請(qǐng)你估算今年參加航模比賽的獲獎(jiǎng)人數(shù)約是多少人?
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【題目】如圖,將一塊三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直尺的一邊PQ上,直尺的另一邊MN與三角板的兩邊AC、BC分別交于兩點(diǎn)E、D,且AD為∠BAC的平分線,∠B=300,∠ADE=150.
(1)求∠BDN的度數(shù);
(2)求證:CD=CE.
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