Question

如圖（一），在平面直角坐標系中，射線OA與x軸的正半軸重合，射線OA繞著原點O逆時針到OB位置，把轉過的角度記為α，把射線OA稱為∠α的始邊，射線OB稱為∠α的終邊、設α是一個任意角，α的終邊上任意一點P（除端點外）的坐標是P（x，y），它到原點的距離是r=PO=

x2+y2

，那么定義：∠α的正弦sinα=

y

r

，∠α的余弦cosα=

x

r

，∠α的正切tanα=

y

x

．
根據(jù)以上的定義當α=120°時，如圖（二）在120°角的終邊OB上取一點P（-1，

3

），則x=-1，y=

3

，r=

(-1)2+( 3 )2

=2；sin120°=

y

r

=

3

2

，cos120°=

x

r

=-

1

2

，tan120°=

y

x

=

3

-1

=-

3

根據(jù)以上所學知識填空：
（1）sin150°=

 

，cos150°=

 

，tan150°=

 

（2）猜想sin（180°-α）與sinα的關系式為

 

；猜想cos（180°-α）與cosα的關系式為

 

；猜想tan（180°-α）與tanα的關系式為

 

．
（3）sin135°=

 

，cos135°=

 

，tan135°=

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目中的定義，當α=150°時，在角的終邊OB上取一點P，給出其坐標；可得x、y的值，進而可得r的值；根據(jù)題目中的定義方法可得答案．
（2）根據(jù)（180°-α）與α的終邊的關系，得到其上的點的對應關系，進而可得其三角函數(shù)間的關系；
（3）同（1）；當α=135°時，在角的終邊OB上取一點P（-1，1），可得x、y的值，進而可得r的值；根據(jù)題目中的定義方法可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)以上的定義：當α=150°時，在角的終邊OB上取一點P（-

3

，1），則x=-

3

，y=1，則r=2；易得sin150°=

1

2

，cos150°=-

3

2

，tan150°=-

3

3

；

（2）（180°-α）與α的終邊關于y軸對稱，故其上的點的坐標對應關系為橫坐標相反，而橫坐標相等；故可得其關系為sin（180°-α）=sinα，cos（180°-α）=-cosα，tan（180°-α）=-tanα；

（3）同（1）；當α=135°時，在角的終邊OB上取一點P（-1，1），則x=-1，y=1，則r=

2

；易得sin135°=

2

2

，cos135°=-

2

2

，tan135°=-1；

故答案為（1）

1

2

，-

3

2

，-

3

3

；（2）sin（180°-α）=sinα，cos（180°-α）=-cosα，tan（180°-α）=-tanα；
（3）

2

2

，-

2

2

，-1

點評：本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊．