Question

已知：如圖，一塊三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的AB邊上，并且使一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，三角板的另一條直角邊與AD交于點(diǎn)Q．

(1)請你寫出此時圖形中成立的一個結(jié)論(任選一個)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P滿足什么條件時，有AQ+BC=CQ，請證明你的結(jié)論；

(3)當(dāng)點(diǎn)Q在AD的什么位置時，可證得PC=3PQ，并寫出論證的過程．

Answer 1

解：(1)△APQ～△BCP．    

    (2)當(dāng)P為AB中點(diǎn)時，有AQ+BC=CQ．

證明：連接CQ，延長QP交CB的延長線于點(diǎn)E．

    可證  △APQ≌△BPE．

    則  AQ=BE，PQ=PE，

    又因?yàn)?nbsp; CP⊥QC，可得CQ=CE，

    所以AQ+BC=CQ．            

    (3)當(dāng)AQ=AD時，有PC=3PQ．    

    證明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=BC=AB，

    又因?yàn)橹苯侨�角板的頂點(diǎn)P在邊AB上，

    所以  ∠1+∠2=180°－∠QPC=90°．

    因?yàn)?nbsp; Rt△CBP中，∠3+∠2=90°，

    所以  ∠1=∠3．

    所以  △APQ～△BCP．  

    所以 .

    因?yàn)?nbsp; AQ=，

    所以 .

    所以  AP=AB，或AP= (不合題意，舍去)． 

    所以  .

    所以PC=3PQ．