Question

已知：如圖，一塊三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的AB邊上，并且使一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，三角板的另一條直角邊與AD交于點(diǎn)Q。
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出此時(shí)圖形中成立的一個(gè)結(jié)論（任選一個(gè)）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P滿足什么條件時(shí)，有AQ+BC=CQ，請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在AD的什么位置時(shí)，可證得PC=3PQ，并寫(xiě)出論證的過(guò)程。

Answer 1

解：（1）△APQ∽△BCP； （2）當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，有AQ+BC=CQ， 證明：連接CQ，延長(zhǎng)QP交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E， 可證△APQ≌△BPE， 則AQ=BE，PQ= PE， 又因?yàn)镃P⊥QE，可得CQ= CE， 所以AQ+BC=CQ； （3）當(dāng)AQ=時(shí)，有PC=3PQ， 證明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=BC=AB， 又因?yàn)橹苯侨�角板的頂點(diǎn)P在邊AB上， 所以∠1+∠2=180°-∠QPC=90°， 因?yàn)镽t△CBP中，∠3+∠2=90°， 所以∠1=∠3， 所以△APQ∽△BCP， 所以 因?yàn)锳Q=， 所以 所以AP=，或AP=（不合題意，舍去）， 所以， 所以PC=3PQ。