Question

【題目】定義：如果把一條拋物線繞它的頂點旋轉180°得到的拋物線我們稱為原拋物線的“孿生拋物線”.

（1）求拋物線y=x-2x的“孿生拋物線”的表達式；

（2）若拋物線y=x-2x+c的頂點為D，與y軸交于點C，其“孿生拋物線”與y軸交于點，請判斷△DCC’的形狀，并說明理由：

（3）已知拋物線y=x-2x-3與y軸交于點C，與x軸正半軸的交點為A，那么是否在其“孿生拋物線”上存在點P，在y軸上存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=-（x-1）=-x+2x-2;（2）等腰Rt△，（3）P1（3，-8），P2（-3，-20）.

【解析】

（1）當拋物線繞其頂點旋轉180°后，拋物線的頂點坐標不變，只是開口方向相反，則可根據頂點式寫出旋轉后的拋物線解析式；

（2）可分別求出原拋物線和其“孿生拋物線”與y軸的交點坐標C、C′，由點的坐標可知△DCC’是等腰直角三角形；

（3）可求出A（3，0），C（0，-3），其“孿生拋物線”為y=-x2+2x-5，當AC為對角線時，由中點坐標可知點P不存在，當AC為邊時，分兩種情況可求得點P的坐標．

（1）拋物線y=x2-2x化為頂點式為y=（x-1）2-1，頂點坐標為（1，-1），由于拋物線y=x2-2x繞其頂點旋轉180°后拋物線的頂點坐標不變，只是開口方向相反，

則所得拋物線解析式為y=-（x-1）2-1=-x2+2x-2；

（2）△DCC'是等腰直角三角形，理由如下：

∵拋物線y=x2-2x+c=（x-1）2+c-1，

∴拋物線頂點為D的坐標為（1，c-1），與y軸的交點C的坐標為（0，c），

∴其“孿生拋物線”的解析式為y=-（x-1）2+c-1，與y軸的交點C’的坐標為（0，c-2），

∴CC'=c-（c-2）=2，

∵點D的橫坐標為1，

∴∠CDC'=90°，

由對稱性質可知DC=DC’，

∴△DCC'是等腰直角三角形；

（3）∵拋物線y=x2-2x-3與y軸交于點C，與x軸正半軸的交點為A，

令x=0，y=-3，令y=0時，y=x2-2x-3，解得x1=-1，x2=3，

∴C（0，-3），A（3，0），

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴其“孿生拋物線”的解析式為y=-（x-1）2-4=-x2+2x-5，

若A、C為平行四邊形的對角線，

∴其中點坐標為(，)，

設P（a，-a2+2a-5），

∵A、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，

∴Q（0，a-3），

∴＝，

化簡得，a2+3a+5=0，△＜0，方程無實數解，

∴此時滿足條件的點P不存在，

若AC為平行四邊形的邊，點P在y軸右側，則AP∥CQ且AP=CQ，

∵點C和點Q在y軸上，

∴點P的橫坐標為3，

把x=3代入“孿生拋物線”的解析式y=-32+2×3-5=-9+6-5=-8，

∴P1（3，-8），

若AC為平行四邊形的邊，點P在y軸左側，則AQ∥CP且AQ=CP，

∴點P的橫坐標為-3，

把x=-3代入“孿生拋物線”的解析式y=-9-6-5=-20，

∴P2（-3，-20）

∴原拋物線的“孿生拋物線”上存在點P1（3，-8），P2（-3，-20），在y軸上存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．