Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線:與軸相交于B，與軸相交于點(diǎn)A.直線:經(jīng)過原點(diǎn)，并且與直線相交于C點(diǎn).

(1)求ΔOBC的面積；

(2)如圖2，在軸上有一動(dòng)點(diǎn)E，連接CE.問CE+BE是否有最小值，如果有，求出相應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)及CE+BE的最小值；如果沒有，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖3，在(2)的條件下，以CE為一邊作等邊ΔCDE，D點(diǎn)正好落在軸上.將ΔDCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為(0°≤≤360)，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為ΔDCE′，點(diǎn)C，E的對(duì)稱點(diǎn)分別為C′，E′.在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)C′E′所在的直線與直線相交于點(diǎn)M，與軸正半軸相交于點(diǎn)N.當(dāng)ΔOMN為等腰三角形時(shí)，求線段ON的長(zhǎng)?

Answer 1

【答案】(1) ；(2)E（6，0），最小值為.(3) ON＝或3-或6或33或3+3.

【解析】

（1）求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，就可以求出△OBC的面積；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P，作射線BP，過點(diǎn)C作CH⊥BP交x軸于點(diǎn)E，則CE+BE有最小值；
（3）分兩種情況：∠MON為等腰三角形的頂角或底角．

（1）如圖1，易求點(diǎn)B（9，0），解方程組 得： ；
故點(diǎn)C（，），
∴S△OBC=×9×=．
（2）如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P，作射線BP，過點(diǎn)E作EH⊥BP于點(diǎn)H，取BE中點(diǎn)I，連接HI．

易知：∠BOC=∠OBC=∠OBP=30°，∠BHE=90°，
∵IE=IB，
∴IH=IE=IB
∵∠BEH=60°，
∴△EIH是等邊三角形，
∴EH=EI=EB，
∴當(dāng)C、E、H三點(diǎn)共線且CH⊥BP時(shí)，CH的長(zhǎng)度最小，即CE+BE有最小值；

∵OC=CB=3，∠BCH=30°，∠BHC=90°，
∴BH=BC=
∴CH=
=
故CE+BE有最小值為．
在Rt△BEH中，∵∠EBH=30°，
∴EH=BE，
∵BE2-EH2=BH2
∴BE=3
∴E（6，0）．
（3）△OMN為等腰三角形，分三種情況：
①當(dāng)∠OMN=∠ONM時(shí)，
∵∠MON=30°，

∴∠OMN=∠ONM=75°
如圖3，當(dāng)∠OMN=∠ONM=75°時(shí)，∠C′DN=45°，∠DC′N=60°，
∴∠CDC′=α=15°，過點(diǎn)N作NG⊥DC′于G，
可求得GC′= ，
∴ON＝
如圖4，當(dāng)∠OMN=∠ONM=75°時(shí)，∠C′DN=45°，旋轉(zhuǎn)角α=195°
過點(diǎn)N作NG⊥DC′于G，
可求得DN=，
∴ON=3-，
②如圖5，當(dāng)∠OMN=∠MON=30°時(shí)，∠ONM=120°，
此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α=60°，易得ON=6

③如圖6，圖7，當(dāng)∠ONM=∠NOM=30°時(shí)，
∴∠OMN=120°，
∵∠DE′C′=60°，α=150°或330°，
∴DE′∥OM，
過點(diǎn)E′作E′G⊥x軸于G，可求得DN=3，
∴ON＝33或3
綜上所述，ON＝或3-或6或33或3+3.