Question

【題目】平面直角坐標系中有正方形AOBC，O為坐標原點，點A、B分別在y軸、x軸正半軸上，點P、E、F分別為邊BC、AC、OB上的點，EF⊥OP于M．

（1）如圖1，若點E與點A重合，點A坐標為（0，8），OF＝3，求P點坐標；

（2）如圖2，若點E與點A重合，且P為邊BC的中點，求證：CM=2CP；

（3）如圖3，若點M為線段OP的中點，連接AB交EF于點N，連接NP，試探究線段OP與NP的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），證明見解析

【解析】

（1）證明△OAF≌△BOP（ASA），得出OF=PB=3，則P點坐標可求出；

（2）取的中點，連接交于，連接，利用，證得四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得MN=AN，用HL定理證明，從而求得為的垂直平分線，使問題得解；

（3）過點作交于點，交于點，連接，由矩形和正方形的性質(zhì)求得為等腰直角三角形，從而求得，，利用垂直平分線的性質(zhì)求得ON=NP，然后根據(jù)HL定理證得，然后利用全等三角形的性質(zhì)求得，即為等腰直角三角形，從而使問題得解．

解：∵A（0，8），

∴OA=8，

∵EF⊥OP于M，

∴∠OMF=90°，

∴∠MOF+∠OFM=90°，

∵∠OFM+∠OAF=90°，

∴∠MOF=∠OAF．

∵OA=OB，∠AOF=∠OBP，

∴△OAF≌△BOP（ASA），

∴OF=PB=3，

∴P（8，3）；

（2）取的中點，連接交于，連接

∵在正方形AOBC中，OA=BC=AC，且點P為BC中點

∴，

∴，

∴四邊形為平行四邊形

∴

∵EF⊥OP

∴

又∵N為OA中點

∴在Rt△AOM中，MN=AN

在Rt△AHN和Rt△MHN中，MN=AN，NH=NH

∴

∴，為的垂直平分線

∴

（3）過點作交于點，交于點，連接

由題意可知四邊形AHGC是矩形且四邊形AOBC為正方形

∴HG=AC=OA

在正方形AOBC中，∠OAB=45°

∴為等腰直角三角形

∴，

由EF⊥OP于M且M為OP的中點

∴MN垂直平分OP

∴ON=NP

在Rt△ONH和Rt△NPG中

∴

∴，，

∵

∴

∴

∴為等腰直角三角形

∴．