Question

【題目】如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A（6，0），與y軸交于點(diǎn)B，與直線y=2x交于點(diǎn)C（a，4）．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；

（2）如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)E作直線l⊥x軸于點(diǎn)E，交直線y=2x于點(diǎn)F，交直線y=kx+b于點(diǎn)G，若點(diǎn)E的坐標(biāo)是（4，0）．

①求△CGF的面積；

②直線l上是否存在點(diǎn)P，使OP+BP的值最��？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）若（2）中的點(diǎn)E是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m（m＞0），當(dāng)點(diǎn)E在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究下列問題：

當(dāng)m取何值時(shí)，直線l上存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等？請直接寫出相應(yīng)的m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+6；（2）①6；②P（4，3）；（3）A題：m的值為2或6或8．B題：m的值為3或6或或．

【解析】

（1）將C（2，4）和A（6，0）代入y=kx+b，即可得到直線AB的解析式；

（2）①設(shè)點(diǎn)F（4，y1），G（4，y2），分別代入y=2x和y=-x+6，可得FE=8，GE=2，F(xiàn)G=6，過點(diǎn)C作CH⊥FG于H，依據(jù)S△FCG=FG×CH，進(jìn)行計(jì)算即可；②設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為D（8，0），設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，將B（0，6），D（8，0）代入y=mx+n，可得直線BD的解析式為y=-x+6，令x=4，則y=3，即可得出P（4，3）；

（3）選A題時(shí)，需要分?jǐn)?shù)軸情況進(jìn)行討論，畫出圖形，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)的位置，即可得到m的值；選B題時(shí)，依據(jù)△BFG是等腰三角形分四種情況進(jìn)行討論，進(jìn)而得出m的值．

（1）將點(diǎn)C（a，4）代入y=2x，可得a=2，

∴C（2，4），

將C（2，4）和A（6，0）代入y=kx+b，可得

，解得，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+6；

（2）①如圖1，∵l⊥x軸，點(diǎn)E，F(xiàn)，G都在直線l上，且點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，0），

∴點(diǎn)F，G的橫坐標(biāo)均為4，

設(shè)點(diǎn)F（4，y1），G（4，y2），分別代入y=2x和y=﹣x+6，可得

y1=8，y2=2，

∴F（4，8），G（4，2），

∴FE=8，GE=2，F(xiàn)G=6，

如圖2，過點(diǎn)C作CH⊥FG于H，

∵C（2，4），

∴CH=4﹣2=2，

∴S△FCG=FG×CH=×6×2=6；

②存在點(diǎn)P（4，3），使得BP+OP的值最�。�

理由：設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為D（8，0），

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，

將B（0，6），D（8，0）代入y=mx+n，可得

，解得，

∴直線BD的解析式為y=﹣x+6，

點(diǎn)P在直線l：x=4上，令x=4，則y=3，

∴P（4，3）；

（3）A題：m的值為2或6或8．

理由：分三種情況討論：

①當(dāng)△OAC≌△QCA，點(diǎn)Q在第四象限時(shí)，∠ECA=∠EAC，

∴AE=CE=4，OE=6﹣4=2，

∴m=2；

②當(dāng)△ACO≌△ACQ，Q在第一象限時(shí)，OE=AO=6，

∴m=6；

③當(dāng)△ACO≌△CAQ，點(diǎn)Q在第四象限時(shí)，四邊形AOCQ是平行四邊形，CQ=AO=6，AE=2，

∴OE=8，

∴m=8；

B題：m的值為3或6或或．

理由：分四種情況討論：

①如圖，當(dāng)BG=GF時(shí)， m=﹣m+6﹣2m，

解得m=；

②如圖，當(dāng)BF=GF時(shí)，m=2m﹣（﹣m+6），

解得m=3；

③如圖，當(dāng)GB=GF時(shí)，m=2m﹣（﹣m+6），

解得m=；

④如圖，當(dāng)BG=BF時(shí)，FG=BG，即2m﹣（﹣m+6）=×m，

解得m=6．