Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD頂點(diǎn)A（0，0），C（10，4），直線y=ax-2a-1將平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，求a的值．

Answer 1

分析：連接AC、BD，AC與BD相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，由直線將平行四邊形分成面積相等的兩部分，得到此直線過平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)M，接下來求M的坐標(biāo)，由平行四邊形的對(duì)角線互相平分，得到M為AC的中點(diǎn)，再由ME與CF都與x軸垂直，得到ME與CF平行，可得出兩對(duì)同位角相等，根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，可得三角形AME與三角形ACF相似，由M為AC的中點(diǎn)得到相似三角形的相似比為1：2，可得E為AF的中點(diǎn)，由C的坐標(biāo)得到AF與CF的長，又ME為三角形ACF的中位線，根據(jù)中位線定理得到ME為CF的一半，求出ME的長，由AE為AF的一半，求出AE的長，確定出M的坐標(biāo)，把M的坐標(biāo)代入直線方程中，得到關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：連接AC、BD，AC與BD相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵C（10，4），
∴AF=10，CF=4，…（2分）
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AM=CM，即

AM

AC

=

1

2

，
∵M(jìn)E⊥x軸，CF⊥x軸，
∴∠MEA=∠CFA=90°，
∴ME∥CF，
∴∠AME=∠ACF，∠AEM=∠AFC，
∴△AME∽△ACF，
∴

AM

AC

=

AE

AF

=

1

2

，即E為AF的中點(diǎn)，
∴ME為△AFC的中位線，…（4分）
∴AE=

1

2

AF=5，ME=

1

2

CF=2，
∴M（5，2），…（6分）
∵直線y=ax-2a-1將平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，
∴直線y=ax-2a-1經(jīng)過點(diǎn)M，…（8分）
將M（5，2）代入y=ax-2a-1得：a=1．…（9分）

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有：平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形中位線定理，其中根據(jù)題意得出直線過平行四邊形的中心M是解本題的關(guān)鍵．