Question

如圖，在△ABC中，∠A=60°，△ABC的內(nèi)切圓I分別切邊AB、AC于點D、E，直線DE分別與直線BI、CI相交于點F、G，證明：FG=

1

2

BC．

Answer 1

考點：四點共圓

專題：

分析：連結(jié)AI、BG、ID、IE、CF，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和內(nèi)心的性質(zhì)得∠BIG=∠IBC+∠ICB=

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2

（∠ABC+∠ACB），再根據(jù)切線長定理得到AD=AE，則∠ADE=∠AED，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ADE=

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2

（180°-∠A）=

1

2

（∠ABC+∠ACB），而∠BDG=∠ADE，所以BDG=∠BIG，根據(jù)四點共圓的判定方法得到B、I、D、G四點共圓，于是根據(jù)圓周角定理得∠BGI=∠BDI，；易得∠BDI=∠BGI=90°，再由∠ADE=∠ABF+∠DFB得到∠DFB=∠ADE-

1

2

∠ABC=

1

2

（∠ABC+∠ACB）-

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACB=∠ECI，又可判斷F、I、C、E四點共圓，所以∠FCI=∠IEF，∠IFC=∠IEC，根據(jù)切線長定理得到∠IED=∠IAE=

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2

∠BAC=30°，則∠BFC=90°，∠GCF=30°，而∠BGC=90°，于是得到點G和F在以BC為直徑的圓上，根據(jù)正弦定理得

GF

sin∠GCF

=BC，所以GF=BC•sin30°=

1

2

BC．

解答：證明：連結(jié)AI、BG、ID、IE、CF，如圖，
∵點I為△ABC的內(nèi)心，
∴∠BIG=∠IBC+∠ICB=

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∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∵△ABC的內(nèi)切圓I分別切邊AB、AC于點D、E，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∴∠BDG=∠ADE=

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∴∠BDG=∠BIG，
∴B、I、D、G四點共圓，
∴∠BGI=∠BDI，
∵AD與⊙I相切，
∴∠BDI=90°，
∴∠BGI=90°，
∵∠ADE=∠ABF+∠DFB，
∴∠DFB=∠ADE-

1

2

∠ABC=

1

2

（∠ABC+∠ACB）-

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACB=∠ECI，
∴F、I、C、E四點共圓，
∴∠FCI=∠IEF，∠IFC=∠IEC，
∵△ABC的內(nèi)切圓I分別切邊AB、AC于點D、E，
∴∠IEC=90°，AI垂直平分DE，
∴∠IED=∠IAE=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°，
∴∠BFC=90°，∠GCF=30°，
而∠BGC=90°，
∴B、G、F、C四點共圓，即點G和F在以BC為直徑的圓上，
∴

GF

sin∠GCF

=BC，
∴GF=BC•sin30°=

1

2

BC．

點評：本題考查了四點共圓：若線段同側(cè)二點到線段兩端點連線夾角相等，那么這二點和線段二端點四點共圓；若四點連成四邊形的對角互補或其中一個外角等于其鄰補角的內(nèi)對角，則這四點共圓．也考查了圓周角定理、三角形內(nèi)心的性質(zhì)、切線的性質(zhì)和正弦定理．