【題目】數(shù)學(xué)課上,老師出示了如下的題目:如圖(1),在等邊△ABC中,點(diǎn)E在AB上,點(diǎn)D在CB的延長線上,且ED=EC,試判斷AE和BD的大小關(guān)系,并說明理由.
小敏與同桌小聰討論后,進(jìn)行了如下解答:
(1)特殊情況,探索結(jié)論
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時,如圖(2),確定線段AE與DB的大小關(guān)系,請你直接寫出結(jié)論:AE DB(填“>”,“<”或“=”);
(2)特例啟發(fā),解答題目
如圖(1),試判斷AE和BD的大小關(guān)系,并說明理由;
(3)拓展結(jié)論,設(shè)計新題
在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在直線AB上,點(diǎn)D在直線BC上,且ED=EC;若△ABC的邊長為1,AE=2,請畫出圖形,求CD的長.
【答案】(1)=;(2)詳見解析;(3)1或3.
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BCE=∠ACE=30°,∠ABC=60°,根據(jù)等腰三角形的判定定理BD=BE,根據(jù)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)解答;
(2作EF∥BC交AC于F.證明△DBE≌△EFC,推出BD=EF=AE,推出BD=AE,即可得到結(jié)論;
(3)分兩種情形討論,當(dāng)E在BA的延長線上時,作EF∥AC交BD的延長線于F,易證△EBD≌△EFC,可得BD=CF=AE=2,CD=BD﹣BC=2﹣1=1;當(dāng)E在AB的延長線上時,作EF∥BC交AC的延長線于F,易證△EBD≌△CFE,可得BD=EF=AE=2,CD=BD+BC=2+1=3.由此即可解決問題.
∵△ABC是等邊三角形,AE=EB,∴∠BCE=∠ACE=30°,∠ABC=60°.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD=30°.
∵∠EBC=∠D+∠BED,∴∠D=∠BED=30°,∴BD=BE=AE.
故答案為:=;
(2)結(jié)論:AE=BD.
理由如下:如圖(2),作EF∥BC交AC于F.
∵EF∥BC,∴∠AEF=∠B=60°,∠ECD=∠CEF,∴∠D=∠CEF.
∵∠AEF=∠B=60°,∠A=60°,∴△AEF是等邊三角形,∴AE=EF=AF,∠AFE=60°,∴∠EFC=∠DBE=120°.
∵AB=AC,AE=AF,∴BE=CF.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD.
在△DBE和△FEC中,∵,∴△DBE≌△EFC(AAS),∴BD=EF,∴BD=AE.
(3)如圖(4)中,當(dāng)E在BA的延長線上時,作EF∥AC交BD的延長線于F,則△EBD≌△EFC(AAS),∴BD=CF=AE=2,CD=BD﹣BC=2﹣1=1.
如圖(5)中,當(dāng)E在AB的延長線上時,作EF∥BC交AC的延長線于F,則△EBD≌△CFE(AAS),∴BD=EF=AE=2,CD=BD+BC=2+1=3.
綜上所述:CD的長為1或3.
故答案為:1或3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在南寧市地鐵1號線某段工程建設(shè)中,甲隊單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要150天,甲隊單獨(dú)施工30天后增加乙隊,兩隊又共同工作了15天,共完成總工程的 .
(1)求乙隊單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天?
(2)為了加快工程進(jìn)度,甲、乙兩隊各自提高工作效率,提高后乙隊的工作效率是 ,甲隊的工作效率是乙隊的m倍(1≤m≤2),若兩隊合作40天完成剩余的工程,請寫出a關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出乙隊的最大工作效率是原來的幾倍?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是某市一座人行天橋的示意圖,天橋離地面的高BC是10米,坡面10米處有一建筑物HQ,為了方便使行人推車過天橋,市政府部門決定降低坡度,使新坡面DC的傾斜角∠BDC=30°,若新坡面下D處與建筑物之間需留下至少3米寬的人行道,問該建筑物是否需要拆除(計算最后結(jié)果保留一位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù): =1.414, =1.732)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10,8),沿直線OD折疊矩形,使點(diǎn)A正好落在BC上的E處,E點(diǎn)坐標(biāo)為(6,8),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、E三點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求AD的長;
(3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一動點(diǎn),當(dāng)△PAD的周長最小時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,連接AC交DE于點(diǎn)F,點(diǎn)G為AF的中點(diǎn),∠ACD=2∠ACB.若AF=50,EC=7,則DE的長為( )
A. 14 B. 21 C. 24 D. 25
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,∠BAC=106°,EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線,E、M在BC上,則∠EAM等于 ( )
A. 58° B. 32°
C. 36° D. 34°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小強(qiáng)為了測量一幢高樓高AB,在旗桿CD與樓之間選定一點(diǎn)P.測得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC=36°,測樓頂A視線PA與地面夾角∠APB=54°,量得P到樓底距離PB與旗桿高度相等,等于10米,量得旗桿與樓之間距離為DB=36米,小強(qiáng)計算出了樓高,樓高AB是多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2 ,0),(0,10),M是△AOB外接圓⊙C上的一點(diǎn),且∠AOM=30°,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .
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