【題目】如圖,矩形的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10,8),沿直線OD折疊矩形,使點(diǎn)A正好落在BC上的E處,E點(diǎn)坐標(biāo)為(6,8),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、E三點(diǎn).

(1)求此拋物線的解析式;
(2)求AD的長;
(3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAD的周長最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵四邊形ABCD是矩形,B(10,8),

∴A(10,0),

又拋物線經(jīng)過A、E、O三點(diǎn),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得

,解得 ,

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x


(2)

解:由題意可知:AD=DE,BE=10﹣6=4,AB=8,

設(shè)AD=x,則ED=x,BD=AB﹣AD=8﹣x,

在Rt△BDE中,由勾股定理可知ED2=EB2+BD2,即x2=42+(8﹣x)2,解得x=5,

∴AD=5;


(3)

解:∵y=﹣ x2+ x,

∴其對稱軸為x=5,

∵A、O兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱,

∴PA=PO,

當(dāng)P、O、D三點(diǎn)在一條直線上時(shí),PA+PD=PO+PD=OD,此時(shí)△PAD的周長最小,

如圖,連接OD交對稱軸于點(diǎn)P,則該點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P,

由(2)可知D點(diǎn)的坐標(biāo)為(10,5),

設(shè)直線OD解析式為y=kx,把D點(diǎn)坐標(biāo)代入可得5=10k,解得k= ,

∴直線OD解析式為y= x,

令x=5,可得y=

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(5,


【解析】(1)利用矩形的性質(zhì)和B點(diǎn)的坐標(biāo)可求出A點(diǎn)的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;(2)設(shè)AD=x,利用折疊的性質(zhì)可知DE=AD,在Rt△BDE中,利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程,可求得AD的長;(3)由于O、A兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱,所以連接OD,與對稱軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P,利用待定系數(shù)法可求得直線OD的解析式,再由拋物線解析式可求得對稱軸方程,從而可求得P點(diǎn)坐標(biāo).本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及知識點(diǎn)有待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)及方程思想.在(2)中注意方程思想的應(yīng)用,在(3)中確定出滿足條件的P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點(diǎn)雖然較多,但題目屬于基礎(chǔ)性的題目,難度不大.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和矩形的性質(zhì),需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對角線相等才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)M是AC的中點(diǎn),以AB為直徑作⊙O分別交AC,BM于點(diǎn)D,E.
(1)求證:MD=ME;
(2)填空:
①若AB=6,當(dāng)AD=2DM時(shí),DE=;
②連接OD,OE,當(dāng)∠A的度數(shù)為時(shí),四邊形ODME是菱形.

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(1)請畫出△ABC向左平移6個(gè)單位長度后得到的△A1B1C1;
(2)以點(diǎn)O為位似中心,將△ABC縮小為原來的 ,得到△A2B2C2 , 請?jiān)趛軸右側(cè)畫出△A2B2C2 , 并求出∠A2C2B2的正弦值.

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(1)求證:△ABM≌△DBN;

(2)試探索BM和BN的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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小敏與同桌小聰討論后,進(jìn)行了如下解答:

(1)特殊情況,探索結(jié)論

當(dāng)點(diǎn)EAB的中點(diǎn)時(shí),如圖(2),確定線段AEDB的大小關(guān)系,請你直接寫出結(jié)論:AE DB(填“>”,“<”“=”);

(2)特例啟發(fā),解答題目

如圖(1),試判斷AEBD的大小關(guān)系,并說明理由;

(3)拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題

在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在直線AB上,點(diǎn)D在直線BC上,且ED=EC;若ABC的邊長為1,AE=2,請畫出圖形,求CD的長

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