Question

如圖，已知拋物線與軸交于A（－1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（0，3）。

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B、C，D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

Answer 1

解：（1）∵拋物線與軸交于點(diǎn)（0，3），

∴設(shè)拋物線解析式為。   

根據(jù)題意，得，解得。

∴拋物線的解析式為。 

（2）存在。          

  由，得D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對(duì)稱軸為。

  ①若以CD為底邊，則PD=PC，

  設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)勾股定理，得

  ，

  即。                  

  又點(diǎn)P在拋物線上，

  ∴，即。     

  解得。

  ∵，應(yīng)舍去，∴。     

  。

  即點(diǎn)P的坐標(biāo)為。     

  ②若以CD為一腰，因?yàn)辄c(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對(duì)稱性知，

點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）。

  ∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或（2，3）。    

（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據(jù)勾股定理，得

        ，,。        

        ∴

        ∴∠BCD=90º，

        設(shè)對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)E，過C做CM⊥DE，交拋物線于點(diǎn)M，垂足為F。

在Rt△DCF中，

∵CF=DF=1，∴∠CDF=45º，

        由拋物線的對(duì)稱性知，

        ∠CDM=2×45º=90º，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，3）

        ∴DM∥BC。

        ∴四邊形BCDM為直角梯形。

        由∠BCD=90º及題意可知，

        以BC為一底時(shí)，頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況；

        以CD為一底或以BD為一底，且頂點(diǎn)M在拋物線上的直角梯形均不存在。

        綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）。