Question

如圖，邊長(zhǎng)為n的正△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)恰好在邊長(zhǎng)為m的正△ABC的各邊上，則△AEF的內(nèi)切圓半徑為（　�。�

• A、

  3

  6

  (m-n)
• B、

  3

  4

  (m-n)
• C、

  3

  3

  (m-n)
• D、

  3

  2

  (m-n)

Answer 1

分析：由于△ABC、△EFD都是等邊三角形，因此它們的內(nèi)心重合，設(shè)△ABC的內(nèi)心為M，△AEF的內(nèi)心為N，連接FN、MF，可先證MN=MF，而后由AN=MA-MN=MA-MF求出MA的值，易知∠NAF=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出△AEF的內(nèi)切圓半徑．

解答：解：設(shè)△AEF的內(nèi)切圓半徑為r，
∵△ABC、△DEF都是等邊三角形，且△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的邊上，
∴△AEF≌△BDE≌△CFD，
∴AF=BE，AE+AF+EF=AE+BE+EF=m+n，
S_△ABC=

3

4

m²，S_△DEF=

3

4

n²，
∴S_△AEF=

1

3

（S_△ABC-S_△DEF）=

3

12

（m²-n²），
則r=

2 S△AEF

AE+AF+EF

=

3

6

（m-n）．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：等邊三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外角性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．