如圖1,在等邊△ABC中,AD⊥BC于點(diǎn)D,一個(gè)直徑與AD相等的圓與BC相切于點(diǎn)E、與AB相切于點(diǎn)F,連接EF.
(1)判斷EF與AC的位置關(guān)系(不必說明理由);
(2)如圖2,過E作BC的垂線,交圓于G,連接AG,判斷四邊形ADEG的形狀,并說明理由;
(3)求證:AC與GE的交點(diǎn)O為此圓的圓心.

【答案】分析:(1)根據(jù)∠EFB與∠FEB都是弦切角,可得△ABC是等邊三角形,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,即△BFE為等邊三角形,所以求得∠BAC=∠BFE,∠BCA=∠BEF,可證明EF∥AC;
(2)根據(jù)圓切BC于E,EG為直徑,AD=EG,AD⊥BC,可判定四邊形ADEG為矩形;
(3)由(1)(2)的結(jié)論,證明AC垂直平分FG;再根據(jù)垂徑定理,可知AC必過圓心,又EG為直徑,所以AC與GE的交點(diǎn)O為此圓的圓心.
解答:(1)解:EF∥AC;

(2)解:四邊形ADEG為矩形;
理由:
∵EG⊥BC,E為切點(diǎn),
∵BC為圓O的切線,
∴EG為直徑,
∴EG=AD;
又∵AD⊥BC,EG⊥BC,
∴AD∥EG,
由EG=AD,AD∥EG,
得出四邊形ADEG為平行四邊形,
∵∠ADE=90°,
∴平行四邊形ADEG為矩形;

(3)證明:連接FG,由(2)可知EG為直徑,
∴FG⊥EF;
又由(1)可知EF∥AC,
∴AC⊥FG;
又∵四邊形ADEG為矩形,
∴EG⊥AG,
∴AG是已知圓的切線;
∵AF=AG,
∴AC是FG的垂直平分線,故AC必過圓心,(從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,圓心和這一點(diǎn)的連線,平分兩條切線的夾角,根據(jù)等腰三角形三線合一定理即可得出AC垂直平分FG)
∴圓心O就是AC與EG的交點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了切線的性質(zhì)和垂徑定理.要熟練掌握矩形的判定和圓中的有關(guān)性質(zhì)才能靈活的解題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在等邊△ABC中,AD是∠BAC的平分線,一個(gè)含有120°角的△MPN的頂點(diǎn)P(∠MPN=120°)與點(diǎn)D重合,一邊與AB垂直于點(diǎn)E,另一邊與AC交于點(diǎn)F.
(1)請(qǐng)猜想并寫出AE+AF與AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系,不必證明.
(2)在圖1的基礎(chǔ)上,若△MPN繞著它的頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),E、F仍然是△MPN的兩邊與AB、AC的交點(diǎn),當(dāng)三角形紙板的邊不與AB垂直時(shí),如圖2,(1)中猜想是否仍然成立?說明理由.
(3)如圖3,若△MPN繞著它的頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),當(dāng)△MPN的一邊與AB的延長(zhǎng)線相交,另一邊與AC的反向延長(zhǎng)線相交時(shí),AE、AF與AD之間又滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出結(jié)論,不必證明.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在等邊△ABC中,點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn),點(diǎn)P是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合),連接BP.將△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<180°),得到△A1B1P,連接AA1,射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點(diǎn)E、F.
(1)如圖1,當(dāng)0°<α<60°時(shí),在α角變化過程中,△BEF與△AEP始終存在
 
關(guān)系(填“相似”或“全等”),并說明理由;
(2)如圖2,設(shè)∠ABP=β.當(dāng)60°<α<180°時(shí),在α角變化過程中,是否存在△BEF與△AEP全等?若存在,求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)如圖3,當(dāng)α=60°時(shí),點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合.已知AB=4,設(shè)DP=x,△A1BB1的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

觀察發(fā)現(xiàn)
(1)如圖1,若點(diǎn)A、B在直線l同側(cè),在直線l上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最。
作法如下:作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′,與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P.
(2)如圖2,在等邊三角形ABC中,AB=4,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AD是高,在AD上找一點(diǎn)P,使BP+PE的值最小.
作法如下:作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn),恰好與點(diǎn)C重合,連接CE交AD于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+PE的最小值為
2
3
2
3

實(shí)踐運(yùn)用
如圖3,菱形ABCD中,對(duì)角線AC、BD分別為6和8,M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn),若點(diǎn)P是BD上的動(dòng)點(diǎn),則MP+PN的最小值是
5
5

拓展延伸
(1)如圖4,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E.若點(diǎn)P,Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn),則DQ+PQ的最小值是
5
2
2
5
2
2
;
(2)如圖5,在四邊形ABCD的對(duì)角線BD上找一點(diǎn)P,使∠APB=∠CPB.保留畫圖痕跡,并簡(jiǎn)要寫出畫法.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

請(qǐng)閱讀下列材料?:
問題:如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=2,PB=
3
,PC=1.求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng).
李明同學(xué)的思路是:將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖2).連接PP′,可得△P′PB是等邊三角形(可證),而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證).所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°.進(jìn)而把AB放在Rt△APB(可證得)中,用勾股定理求出等邊△ABC的邊長(zhǎng)為
7
.問題得到解決.?
[思路分析]首先仔細(xì)閱讀材料,問題中小明的做法總結(jié)起來就是通過旋轉(zhuǎn)固定的角度將已知條件放在同一個(gè)(組)圖形中進(jìn)行研究.旋轉(zhuǎn)60度以后BP就成了BP′,PC成了P′A,借助等量關(guān)系BP′=PP′,于是△APP′就可以計(jì)算了.
解決問題:
請(qǐng)你參考李明同學(xué)旋轉(zhuǎn)的思路,探究并解決下列問題:
如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=
5
,BP=
2
,PC=1.求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)畫圖探究:
如圖1,若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè),在直線m上求作一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小,保留作圖痕跡,不寫作法;
(2)實(shí)踐運(yùn)用:
如圖2,在等邊△ABC中,AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AD是高,點(diǎn)P是高AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求BP+PE的最小值
(3)拓展延伸:
如圖3,四邊形ABCD中,∠BAD=125°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,使△AMN周長(zhǎng)最小,并求此時(shí)∠MAN的度數(shù).

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