Question

已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO．
（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，連結(jié)OP．若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)以及中點(diǎn)的定義可得DA=MB=

1

2

AB=

3

2

，OA=BC=2，∠DAO=∠B=90°，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先由拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），再將B（3，2）與點(diǎn)D（-

3

2

，2）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式為y=

4

9

x²-

2

3

x，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為（x，

4

9

x²-

2

3

x）．因?yàn)椤螼QP=∠OAD=90°，所以當(dāng)以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似時(shí)，Q與A一定對應(yīng)，然后分兩種情況進(jìn)行討論：（i）△PQO∽△DAO；（ii）△OQP∽△DAO．根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，求解即可．

解答：解：（1）∵四邊形OCBA是矩形，
∴AB=OC=3，OA=BC=2，∠B=90°．
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴AM=MB=

1

2

AB=

3

2

．
∵把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO，
∴DA=MB=

3

2

，∠DAO=∠B=90°，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

3

2

，2）；

（2）∵OC=3，BC=2，∴B（3，2）．
∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），
又拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（3，2）與點(diǎn)D（-

3

2

，2），
∴

9a+3b=2 9 4 a- 3 2 b=2

，解得：

a= 4 9 b=- 2 3

，
∴拋物線的解析式為y=

4

9

x²-

2

3

x．
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

4

9

x²-

2

3

x）．
分兩種情況：
（i）若△PQO∽△DAO，則

PQ

DA

=

QO

AO

，
即

4 9 x2- 2 3 x

3 2

=

x

2

，解得：x₁=0（舍去），x₂=

51

16

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

51

16

，

153

64

）；
（ii）若△OQP∽△DAO，則

OQ

DA

=

PQ

AO

，
即

x

3 2

=

4 9 x2- 2 3 x

2

，解得：x₁=0（舍去），x₂=

9

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

9

2

，6）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，矩形、平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．