Question

【題目】某數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究：

（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1，AD，BD為⊙O的兩條弦（AD＜BD），點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過C作CE⊥BD，垂足為E．求證：BE＝DE+AD．

（問題探究）小明同學(xué)的思路是：如圖2，在BE上截取BF＝AD，連接CA，CB，CD，CF．……請你按照小明的思路完成上述問題的證明過程．

（結(jié)論運(yùn)用）如圖3，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，∠ACD＝45°，連接BD，CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E．若AB＝，則△BCD的周長為　 　．

（變式探究）如圖4，若將（問題發(fā)現(xiàn)）中“點(diǎn)C為的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)C為優(yōu)弧的中點(diǎn)”，其他條件不變，上述結(jié)論“BE＝DE+AD”還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出BE、AD、DE之間的新等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】【問題發(fā)現(xiàn)】見解析；【問題探究】見解析；【結(jié)論運(yùn)用】8+4；【變式探究】結(jié)論“BE＝DE+AD”不成立，BE+AD＝DE，理由見解析

【解析】

[問題探究]在BE上截取BF＝AD，連接CA，CB，CD，CF，證明△DAC≌△FBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝CF，根據(jù)等腰三角形的三線合一、結(jié)合圖形證明結(jié)論；

[結(jié)論運(yùn)用]連接AD，在CE上截取CF＝AD，連接AF，證明△DAB≌△FAC，得到DB+DC＝2EC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EC，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案；

[變式探究]在線段DE上截取DF＝AD，連接CB、CF、CD、CA，證明△ADC≌△FDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)解答即可．

解：[問題探究]如圖2，在BE上截取BF＝AD，連接CA，CB，CD，CF，

∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，

∴＝，

∴AC＝BC，

由圓周角定理得，∠DAC＝∠DBC，

在△DAC和△FBC中，

，

∴△DAC≌△FBC（SAS）

∴CD＝CF，又CE⊥BD，

∴DE＝EF，

∴BE＝EF+BF＝DE+AD；

[結(jié)論運(yùn)用]連接AD，在CE上截取CF＝AD，連接AF，

由[問題探究]可知，△DAB≌△FAC，

∴BD＝CF，AD＝AF，

∵AE⊥CD，

∴DE＝EF，

∴EC＝EF+CF＝DE+BD，

∴DB+DC＝2EC，

在Rt△AEC中，∠ACE＝45°，

∴EC＝AC＝4，

∴△BCD的周長＝DB+DC+BC＝8+4，

故答案為：8+4；

[變式探究]結(jié)論“BE＝DE+AD”不成立，BE+AD＝DE，

理由如下：在線段DE上截取DF＝AD，連接CB、CF、CD、CA，

∵點(diǎn)C為優(yōu)弧的中點(diǎn)”，

∴＝，

∴AC＝CB，∠ADC＝∠BDC，

在△ADC和△FDC中，

，

∴△ADC≌△FDC（SAS），

∴CA＝CF，

∵CA＝CB，

∴CF＝CB，又CE⊥BD，

∴BE＝EF，

∴DE＝DF+EF＝BE+AD．