Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)為P（2，4），直線y=x與拋物線交于點(diǎn)A．拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)B.

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求四邊形APOB的面積；

（3）M是拋物線上位于直線y=x上方的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為多少時(shí)，△MOA的面積最大？

Answer 1

【答案】(1)y=-x2+4x，A( ，)；（2）；（3）M（， ）.

【解析】

（1）因?yàn)轫旤c(diǎn)為P（2，4），所以帶入頂點(diǎn)坐標(biāo)公式就可以求得解析式；拋物線的解析式和直線解析式聯(lián)立組成方程組，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）把四邊形APOB的面積分割成兩個(gè)直角三角形和直角梯形；

（3）作MN∥y軸，交OA于點(diǎn)N，設(shè)M（m,-m2+4m），則N（m，m），所以MN=-m2+4m-m=-m2+m，可得：S△MOA=××（-m2+m）=-m2+m，根據(jù)拋物線開(kāi)口向下，所以面積有最大值得解.

解：（1）由題意得： ，解得

∴y=-x2+4x

∵直線y=x與拋物線交于點(diǎn)A ，

∴ 解得 ，，即A( ，)

（2）∵y=-x2+4x與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)B.

∴y=0代入解析式得：-x2+4x=0，

解得x1=0 ， x2=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4,0）

∴S四邊形APOB=×2×4+ (4+)×（-2）+×（4-）×=

（3）如圖，作MN∥y軸，交OA于點(diǎn)N，設(shè)M（m,-m2+4m），則N（m，m）

∴MN=-m2+4m-m=-m2+m

∴S△MOA=××（-m2+m）=-m2+m.

∵-<0，開(kāi)口向下，

∴當(dāng)m= -= 時(shí)，S△MOA最大，

即M（， ）