Question

【題目】是直徑，分別是上下半圓上一點，且弧弧，連接，連接交于，

（1）如圖(1)求證：；

（2）如圖(2)是弧一點，點分別是弧和弧的中點，連接，連接分別交，于兩點，求證：

（3）如圖(3)在(2)問條件下，交于，交于，過點作交于，連接，若的面積等于，求線段的長度

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）由垂徑定理即可證明；

（2）利用等弧所對的圓周角相等和三角形外角性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）由∠MPC=∠NQD可得：∠BGL=∠BLG，BL=BG，作BR⊥MN，GT⊥AF，HK⊥AB，證明：GH平分∠AGT，利用相似三角形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)求得△AGT三邊關系，再求出HK與GH，OS⊥MN，再利用相似三角形性質(zhì)求出OS，利用勾股定理求MN即可．

解：證明：∵，AB為直徑，

∴AB⊥CD

∴∠AEC=90°；

連接，

∵點M是弧AC的中點，點N是弧DF的中點，

∴，，

∴，

∵OM=ON，

∴，

∵，

；

如圖3，過G作GT⊥AF于T，過H作HK⊥AB于K，過B作BR⊥MN于R，過O作OS⊥MN于S，連接OM，設BG=m，

∵△ABH的面積等于8，AG=6

∴HK=，

∵，

∴∠BAC=∠BFD，由（2）得∠MPC=∠NQD

∴∠AGM=∠FLN

∴∠BGL=∠BLG

∴BL=BG，

∵BR⊥MN

∴∠ABR=∠FBR

∵GH⊥MN

∴GH∥BR

∴∠AGH=∠ABR

∵AB是直徑，GT⊥AF

∴∠AFB=∠ATG=90°

∴GT∥BF，

又∵GH∥BR

∴∠TGH=∠FBR

∴∠AGH=∠TGH，

又∵HK⊥AG，HT⊥GT，

∴HT=HK=，

∵FH=BG=m，

∴FT=，

∵GT∥BF，

∴，

∴，，，

∵，

代入解得：m=4；

∴AB=10，OM=5，GK=，HK=，OG=1
∴GH=，

∵OS⊥MN

∴∠OSG=∠GKH=90°，GH∥OS

∴∠HGK=∠GOS

∴△HGK∽△GOS，

∴，

∴，

∴，

∴；