Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點，點，點為中點，點與點關于軸對稱．

（1）點的坐標為___________；

（2）連結，求的正切值；

（3）拋物線的對稱軸為直線，在拋物線上是否存在點（、不重合），使與全等？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的坐標為或或

【解析】

（1）根據(jù)題意即可求出點C的坐標，然后根據(jù)關于y軸對稱的兩點坐標關系即可求出結論；

（2）過點作于，先求出OB和CD，再利用勾股定理求出BC和BD，然后根據(jù)三角形面積的兩種求法即可求出DM，再利用勾股定理求出BM，即可求出結論．

（3）根據(jù)對稱軸公式即可求出二次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)全等三角形的對應情況分類討論，分別畫出對應的圖形，然后根據(jù)全等三角形的性質、銳角三角函數(shù)、平行四邊形的判定及性質即可求出結論．

解：（1）∵點，點為中點，

∴點C的坐標為（-1,0）

∵點與點關于軸對稱．

∴點D的坐標為．

故答案為：．

（2）如圖，過點作于，

由題易得，，，，

又，則，

在中，由勾股定理得，

∴．

（3）由題可得，

解得，

則拋物線所對應的函數(shù)解析式為，

①如圖，當時，因為點不與點重合，則點只能在的右側，過點作軸于，

由全等的性質可知，，

∵，且，

∴，

又，

∴．

又，，

∴，

∴，，

∴，此時點在拋物線上，且符合題意；

②如圖，當，且點在的右側時，

易得四邊形是平行四邊形，則，

此時點在拋物線上，且符合題意；

③如圖，當，且點在的左側時，記此時的點為，

則與①中的組成平行四邊形，

易得，此時點在拋物線上，且符合題意；

綜上所述，點的坐標為或或．