已知拋物線與x軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),拋物線頂點(diǎn)為D,連接AD,AC,CD.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)△ACD與△COB是否相似?如果相似,請(qǐng)給以證明;如果不相似,請(qǐng)說明理由;
(3)拋物線的對(duì)稱軸與線段AC交于點(diǎn)E,求△CED的面積.
分析:(1)拋物線過A,B,C三點(diǎn),則這三點(diǎn)的坐標(biāo)適合拋物線解析式,從而求出拋物線解析式.
(2)根據(jù)拋物線的解析式,可通過配方(公式法亦可)求得D點(diǎn)的坐標(biāo),然后分別求出兩個(gè)三角形中六條邊的長(zhǎng),然后判斷它們是否對(duì)應(yīng)成比例即可.
(3)此題有兩種解法:
①由(2)證得:△ACD∽△COB,則△ACD是直角三角形,求得了直角邊AC、CD的長(zhǎng),即可求出△ACD的面積;然后通過比較A、E、C三點(diǎn)坐標(biāo),求出△AED、△CED、△ACD面積的比例關(guān)系,從而求出△CED的面積;
②先求出直線AC的解析式,聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸可得到E點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可求出DE的長(zhǎng),以DE為底,E點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可得到△CED的面積.
解答:解:(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax
2+bx-3(a≠0),(1分)
根據(jù)題意,得
,
解得
,(2分)
∴拋物線的解析式為y=x
2+2x-3.(1分)
(2)相似(1分)
由y=x
2+2x-3配方得y=(x+1)
2-4,
∴D(-1,-4),(1分)
由兩點(diǎn)間距離公式得
AD=2,
CD=,
AC=3,(2分)
又∵
CB=,BO=1,OC=3,
∴
===,
∴△ACD∽△COB.(2分)
(3)由(2)可知∠ACD=90°,
∴
S△ADC=AC•CD=3,(1分)
∵拋物線的對(duì)稱軸是x=-1,A到x=-1的距離是2,C到x=-1的距離是1,
∴
S△CDE=S△ADE,又S
△ADC=S
△CDE+S
△ADE,
∴
S△CDE=S△ADC=1.(1分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定以及圖形面積的求法,比較簡(jiǎn)單.