(2012•岳陽一模)如圖,已知拋物線與x軸交于A(-4,0)和B(1,0)兩點,與y軸交于C(0,-2)點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)G是線段BC上的動點,作GH∥AC交AB于H,連接CH,當△BGH的面積是△CGH面積的3倍時,求H點的坐標;
(3)若M為拋物線上A、C兩點間的一個動點,過M作y軸的平行線,交AC于N,當M點運動到什么位置時,線段MN的值最大,并求此時M點的坐標.
分析:(1)已知拋物線與x軸的兩個交點,可將其解析式設(shè)為交點式,再代入C點的坐標求解即可.
(2)對于△BGH和△CGH可看作是兩個等高的三角形,那么它們的面積比等于底邊的比,由此可以看出BG:GC=3:1,即:BG:GC=3:4,而已知了GH∥AC,那么BH:BA=BG:BC,BA、BC的長易得,則BH的長可求,則H點的坐標不難得出.
(3)首先要求出的是直線AC的解析式,然后設(shè)出點M、N的坐標,它們縱坐標差的絕對值就是MN的長,可據(jù)此求得關(guān)于MN長的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來解即可.
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式:y=a(x+4)(x-1),代入C(0,-2),得:
-2=a(0+4)(0-1),
解得:a=
1
2

故拋物線的解析式:y=
1
2
(x+4)(x-1)=
1
2
x2+
3
2
x-2.

(2)∵當△BGH的面積是△CGH面積的3倍,
∴BG:CG=3:1,即BG:BC=3:4;
∵GH∥AC,∴
BH
AB
=
BG
BC
=
3
4
;
易知:BA=OB+OA=5,則 BH=
3
4
AB=
15
4

∴OH=BH-OB=
15
4
-1=
11
4
,即 H(-
11
4
,0).

(3)設(shè)直線AC:y=kx+b,代入A(-4,0)、C(0,-2),得:
-4k+b=0
b=-2

解得
k=-
1
2
b=-2

故直線AC:y=-
1
2
x-2;
設(shè)M(x,
1
2
x2+
3
2
x-2),則N(x,-
1
2
x-2),則:
MN=(-
1
2
x-2)-(
1
2
x2+
3
2
x-2)=-
1
2
x2-2x=-
1
2
(x+2)2+2
因此當M運動到OA的中垂線上,即M(-2,-3)時,線段MN的長最大.
點評:該題考查了比較常見的二次函數(shù)綜合題,主要涉及了:利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、三角形面積的解法、平行線分線段成比例定理以及二次函數(shù)的應(yīng)用,后兩題在同類項題中出現(xiàn)的次數(shù)較多,難度適中,應(yīng)牢固掌握其解法.
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1
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