Question

【題目】如圖，矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)，若為等腰三角形，則的長為__________．

Answer 1

【答案】或1

【解析】

若為等腰三角形，則需分以下三種情況進(jìn)行討論，①若，根據(jù)BP=PD列出方程即可解出；②若，作出輔助線，證明△ABP≌△（AAS），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出PF=DF=，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得到AP=PF，列出方程求解即可；③若，作出輔助線，在Rt△中運(yùn)用勾股定理列出方程求解即可．

解：設(shè)AP=x，則PD=3-x，

∵PE⊥BP，

∴沿直線翻折后，PE⊥

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴，

①若

即BP=PD

∴

解得：

②若，

過點(diǎn)作F⊥AD交AD于點(diǎn)F，如下圖1所示，

則PF=DF=

又∵，∠A=∠FP，∠APB=∠PF，

∴△ABP≌△（AAS）

∴AP=PF

即

解得：

③若

過點(diǎn)作F⊥AD交AD于點(diǎn)F，如圖1所示，

∵，∠A=∠FP，∠APB=∠PF，

∴△ABP≌△（AAS）

∴PF=AP=x，

∴FD=3-2x，

在Rt△中，，

即，此方程無解，故不存在這種情況，

綜上所述：的長為或1