Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，△OAB是等邊三角形，O為坐標原點，點A的坐標是（3，0），點C在OA上且OC=1，連接BC．一動點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→O的方向向終點O運動，記點P移動的路程為m．

（1）當點P在線段AB上運動時，連接OP，求滿足△BPO≌△OCB的m值；
（2）連接PC，求△OPC的面積s關(guān)于m的函數(shù)表達式；
（3）如圖2，過點P作邊AB的垂線l，并以直線l為對稱軸，作線段AC的對稱線段A1C1 ． 請寫出在點P的運動過程中，線段A1C1與y軸有交點時m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△BPO≌△OCB，

∴BP=OC=1．

∴m=AB﹣BP=3﹣1=2

（2）

解：①如圖1所示：當點P在AB上運動時，過點P作PD⊥OA．

∵∠OAP=60°，∠PDA=90°，

∴∠APD=30°．

∴PD= PA m．

∴S= ×1× m= m；

②如圖2所示：當點P在OB上時，過點P作PD⊥OA．

∵OP=AB+OB﹣m=6﹣m，

∴PD= （6﹣m），

∴S= ×1× （6﹣m）= （6﹣m）．

綜上所述，S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=

（3）

解：如圖3所示：當點C的對應(yīng)點C′落在y軸上時．

由翻折的性質(zhì)可知：CC′⊥PE，DC=DC′，

又∵PE⊥AB，

∴DC∥PA．

∴∠C′CO=∠A=60°．

∴∠CC′O=30°．

∴CC′=2OC=2．

∴DC=1．

∵在△DCE中，∠EDC=90°，∠DCE=60°，

∴∠DEC=30°．

∴EC=2DC=2．

∴EC=CA．

∵DC∥AB，

∴ = ．

∴AP=2．即m=2．

如圖4所示：當點A的對稱點A′在y軸上時．

∵點A與點A′關(guān)于直線PD對稱，

∴PA=PA′．

∵∠A=60°，∠AOA′=90°，

∴∠AA′O=30°．

∴AA′=2OA=6．

∴PA=3．

∴點B與點P重合，此時m=3．

如圖5所示：當點P在OB上，點C′在y軸上．

∵∠PCO=60°，∠POC=60°，

∴△OPC為等邊三角形．

∴PO=OC=1．

∴PB=2．

∴m=PB+AB=5．

∴線段A1C1與y軸有交點時m的取值范圍是2≤m≤5

【解析】（1）由全等三角形的性質(zhì)可知BP=OC，由m=AB﹣PB求解即可；（2）過點P作PD⊥OA，垂足為D，三角形OPC的面積S= OCDP，然后分為點P在AB和OB上兩種情況求得PD的長，從而得到S與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）求得點A′或點C′恰好在y軸上時m的值，從而可確定出m的范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解兩點間的距離的相關(guān)知識，掌握同軸兩點求距離，大減小數(shù)就為之．與軸等距兩個點，間距求法亦如此．平面任意兩個點，橫縱標差先求值．差方相加開平方，距離公式要牢記．