Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線(xiàn)，延長(zhǎng)BC至E，CE=CD，

（1）求證：DB=DE

（2）在圖中過(guò)D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）48.

【解析】

（1）根據(jù)△ABC是等邊三角形，BD是中線(xiàn)，可知∠DBC=30°，由CE=CD，∠ACD=60°可求得∠DCE=30°，即∠DBC=∠DCE，則DB=DE；

（2）根據(jù)Rt△DCF中∠FCD=30°知CD=2CF=4，即可知AC=8，則可求出△ABC的周長(zhǎng).

（1）解：證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線(xiàn)，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∠DBC=30°（等腰三角形三線(xiàn)合一）．

又∵CE=CD，

∴∠CDE=∠CED．

又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，

∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°．

∴∠DBC=∠DEC．

∴DB=DE（等角對(duì)等邊）；

（2）解： ∵∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°，DF⊥BE.

∴∠CDF=30°，

∵CF=4，

∴DC=8，

∵AD=CD，

∴AC=16，

∴△ABC的周長(zhǎng)=3AC=48.