Question

已知△ABC為等邊三角形，D為AC的中點，∠EDF=120°，DE交線段AB于E，DF交直線BC于F．
（1）如圖（1），求證：DE=DF；
（2）如圖（2），若BE=3AE，求證：CF=BC．
（3）如圖（3），若BE=AE，則CF=________BC；在圖（1）中，若BE=4AE，則CF=________BC．

Answer 1

證明：
（1）連接BD．
∵∠EDF=120°，∠B=60°，
∴BEFD四點共圓；
又∵D為AC中點，
∴在等邊三角形ABC中，BD為∠ABC的角平分線，
∴DE和DF在BEFD四點所構成的圓內，其圓周角相等，
∴DE=DF；


（2）連接BD．
由（1）知，四邊形BEFD是圓內接四邊形，
又∵在等邊三角形ABC中，BD為∠ABC的角平分線，
∴BD也是∠EDF的角平分線，
∴∠DEB=180°-=90°，
∴△BED是直角三角形；
同理，得△BFD是直角三角形；
在Rt△BED和Rt△BFD中，
BD=DB（公共邊），DE=DF（由上題知），
∴Rt△BED≌Rt△BFD（HL），
∴BE=BF（對應邊相等）；
又∵AB=BC，BE=3AE
∴CF=BC；

（3）過點D作DH∥BC，交AB于點H．
∴∠CDH+∠BCA=180°，
∴∠CDH=120°；
又∵D為AC中點，
∴DH=BC=DC；
∵∠HDE+∠EDC=120°，∠FDC+∠EDC=120°，
∴∠HDE=∠FDC；
又由ED=FD，
∴△DHE≌△DCF（SAS）；
∴HE=FC；
①∵BE=AE，AB=BC，
∴BE=BC，
∵AH=BC，
∴HE=BC-AH-BE=BC，
∴BC；
②∵BE=4AE，
∴AE=BC，
如圖（1），連接BD．
在Rt△BED和Rt△BFD中，
，
則Rt△BED≌Rt△BFD，
∴BE=BF，
∴FC=BC-BF=AB-BE=AE=BC；
故答案分別是：，．
分析：（1）根據對角和是180°可推斷出BEFD四點共圓，然后在由同（等）圓中，相等的圓周角所對弧相等來證明DE=DF；
（2）先證明△BDE和△BDF是直角三角形，然后利用（1）的結果證明Rt△BED≌Rt△BFD（HL）；最后根據全等三角形的性質來證明、計算CF=BC；
（3）過點D作DH∥BC，交AB于點H．根據平行線的性質及全等三角形的判定定理（SAS）證明△DHE≌△DCF（SAS）；然后再由全等三角形的性質及等邊三角形的性質找出CF與BC的數(shù)量關系．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質及全等三角形的判定與性質．