【題目】如圖,ABC是一塊直角三角板,且∠C90°,∠A30°,現(xiàn)將圓心為點(diǎn)O的圓形紙片放置在三角板內(nèi)部,將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動(dòng)1周,回到起點(diǎn)位置時(shí)停止,若BC7+2,圓形紙片的半徑為2,求圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長為_____

【答案】15+5

【解析】

添加如圖所示輔助線,圓心O的運(yùn)動(dòng)路徑長為,先求出ABC的三邊長度,得出其周長,證四邊形OEDO1、四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF均為矩形、四邊形OECF為正方形,得出∠OO1O260°=∠ABC、∠O1OO290°,從而知OO1O2∽△CBA,利用相似三角形的性質(zhì)即可得出答案.

如圖,圓心O的運(yùn)動(dòng)路徑長為,

過點(diǎn)O1O1DBC、O1FAC、O1GAB,垂足分別為點(diǎn)D、FG,

過點(diǎn)OOEBC,垂足為點(diǎn)E,

過點(diǎn)O2O2HABO2IAC,垂足分別為點(diǎn)HI

RtABC中,∠ACB90°、∠A30°,

AC7+6,AB2BC14+4,∠ABC60°,

CABC13+27,

O1DBC、O1GAB,

D、G為切點(diǎn),

BDBG,

RtO1BDRtO1BG中,

,

∴△O1BD≌△O1BGHL),

∴∠O1BG=∠O1BD30°,

RtO1BD中,∠O1DB90°,∠O1BD30°,

BD2

OO17+2225,

O1DOE2,O1DBC,OEBC,

O1DOE,且O1DOE,

∴四邊形OEDO1為平行四邊形,

∵∠OED90°

∴四邊形OEDO1為矩形,

同理四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF、四邊形OECF為矩形,

OEOF

∴四邊形OECF為正方形,

∵∠O1GH=∠CDO190°,∠ABC60°,

∴∠GO1D120°

又∵∠FO1D=∠O2O1G90°,

∴∠OO1O2360°90°90°60°=∠ABC,

同理,∠O1OO290°,

∴△OO1O2∽△CBA

,即

COO1O215+5,

即圓心O運(yùn)動(dòng)的路徑長為15+5.

故答案為15+5

練習(xí)冊系列答案
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1)填空:AB   cm;

2t為何值時(shí),PCQACB相似;

3)如圖2,以PQ為斜邊在異于點(diǎn)C的一側(cè)作RtPEQ,且,連結(jié)CE,求CE.(用t的代數(shù)式表示).

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A. 3 B. 9 C. 12 D. 24

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1)求證:∠OBA=∠OCD;

2)當(dāng)AOF是直角三角形時(shí),求EF的長;

3)是否存在點(diǎn)F,使得SCEF4SBOF,若存在,請求EF的長,若不存在,請說明理由.

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【題目】如圖,在⊙O中,弦AB、CD相交于點(diǎn)E,,點(diǎn)D上,連接CO,并延長CO交線段AB于點(diǎn)F,連接OA、OB,且OA,tanOBA

1)求證:∠OBA=∠OCD

2)當(dāng)AOF是直角三角形時(shí),求EF的長;

3)是否存在點(diǎn)F,使得SCEF4SBOF,若存在,請求EF的長,若不存在,請說明理由.

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