Question

甲：已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0
（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂滿足+=1+，求m的值．
乙：如圖，點(diǎn)D是⊙O的直徑CA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）若點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，AE與BC相交于點(diǎn)F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA=，求△ACF的面積．

Answer 1

甲題
（1）證明：∵△=（2m+1）²-4（m²+m-2）=9，
∴△＞0，
∴不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）∵x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2，
∴+==，
∴=，
∴m²=4，解得m=2或m=-2，
又∵m+2≠0，
∴m=2．

乙題：
（1）證明：連接BO，如圖，
∵AB=AD=AO，
∴△ODB是直角三角形
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF，
∴△ACF∽△BEF，
又∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
在Rt△BFA中，cos∠BFA=，
∴，
又∵S_△BEF=8
∴S_△ACF=18．
分析：甲題：（1）先計(jì)算出△=9，然后根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2=0，然后變形已知條件+==，再把x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2=0整體代入得到關(guān)于m的方程，解方程即可（要檢驗(yàn)）．
乙題：易證得△ACF∽△BEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到S_△BEF：S_△ACF=BF²：AF²，由AC是⊙O的直徑得到∠ABC=90°，再根據(jù)三角函數(shù)的定義得到cos∠BFA=，由△BEF的面積為8即可求出△ACF的面積．
點(diǎn)評(píng)：甲題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系：若△=b²-4ac＞0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
乙題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及三角函數(shù)的定義．