Question

定義：對于任意的三角形，設其三個內角的度數分別為x°、y°和z°，若滿足，則稱這個三角形為勾股三角形．
（1）已知某一勾股三角形的三個內角度數從小到大依次為x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；
（2）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB=，AC=，BC=2，BE是⊙O的直徑，交AC于D．         
 
①求證：△ABC是勾股三角形；
②求DE的長．

Answer 1

（1）102；（2）①過B作BH⊥AC于H，設AH=x，則CH=，在Rt△ABH和Rt△CBH中，根據勾股定理即可求得，所以，則可得，再根據勾股定理的逆定理即可證得結論；②

試題分析：（1）由三角形的內角和、、xy=2160可得關于x、y、z的方程組，即可求得結果；
（2）①過B作BH⊥AC于H，設AH=x，則CH=，在Rt△ABH和Rt△CBH中，根據勾股定理即可求得，所以，則可得，再根據勾股定理的逆定理即可證得結論；②連接CE，則，再根據圓周角定理可得，即得BC=CE=2，，過D作DK⊥AB于K，設KD=h，則，由，即可求得結果．
（1）由題意可得：
由（3）得： 代入（2）得：
把（1）代入得：
（2）①過B作BH⊥AC于H，設AH=x，則CH=，

Rt△ABH中，，Rt△CBH中，
解得： 所以，
所以，                            
因為， 所以，△ABC是勾股三角形
②連接CE，則，又BE是直徑，所以，
所以，BC=CE=2，
過D作DK⊥AB于K，設KD=h，則

由
所以，
所以，．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．