Question

能否將1，2，3…，12這12個正整數(shù)分成兩組，使得其中第一組有3個數(shù)，第二組有9個數(shù)，并且第一組中3個數(shù)的積恰好等于第二組中9個數(shù)之和？若能，請給出所有的分組方法；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：設(shè)第一組中的三個數(shù)為a、b、c（a＜b＜c），然后可得出第二組中九個數(shù)的和為：

1

2

×12×13-（a+b+c）=78-（a+b+c），從而得出abc+a+b+c=78，結(jié)合a＜b＜c可得出a的范圍，分別討論a的值即可得出可能的答案．

解答：解：設(shè)第一組中的三個數(shù)為a、b、c（a＜b＜c），則第二組中九個數(shù)的和為：

1

2

×12×13-（a+b+c）=78-（a+b+c）．
∴abc+a+b+c=78①，
由a＜b＜c及①得：a³+3a+3＜78，
解得：0＜a＜4，
當(dāng)a=1時，由①得bc+b+c+1=（b+1）（c+1）=78=6×13，
解得a=1，b=5，c=12，
當(dāng)a=2時，由①得2bc+b+c+2=（2b+1）（2c+1）=9×17，
解得a=2，b=4，c=8，
當(dāng)a=2時，由①得3bc+b+c+3=78，即（3b+1）（3c+1）=226，
此時無解．
綜上所述共有兩種方法：
第一種：當(dāng)?shù)谝唤M的三個數(shù)為1，5，12時，第二組的九個數(shù)為2，3，4，6，7，8，9，10，11．
第二種：當(dāng)?shù)谝唤M的三個數(shù)為2，4，8時，第二組的九個數(shù)為1，3，5，6，7，9，10，11，12．

點(diǎn)評：本題考查了整數(shù)問題的綜合運(yùn)用，難度較大，解答本題的關(guān)鍵根據(jù)題意得出a的取值范圍，然后分類討論a的取值．