如圖,已知△ABC是等邊三角形,點D是AC邊上一動點,△BDE是等邊三角形,連接AE.
(1)求證:△EBA≌△DBC;EA∥BC;
(2)當(dāng)點D是AC邊的中點,其他條件不變時,指出圖中所有的垂直關(guān)系(不添加新的字母和線段).

【答案】分析:(1)由△ABC和△BDE都為等邊三角形,利用等邊三角形的性質(zhì)得到每一個內(nèi)角為60°,三邊長相等,再由等式的性質(zhì)得到∠ABE=∠CBD,利用SAS可得出△EBA≌△DBC,由全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠EAB=∠DCB=60°,而∠ABC=60°,得到一對內(nèi)錯角相等,利用內(nèi)錯角相等兩直線平行即可得到EA與BC平行;
(2)圖中所有的垂直關(guān)系為:BD⊥AC,AB⊥ED,AE⊥EB,EB⊥BC,理由分別為:當(dāng)D為AC中點時,由三角形ABC為等邊三角形,利用三線合一得到BD垂直于AC,BD為角平分線,得出∠ABD=30°,又∠EDB=60°,利用三角形的內(nèi)角和定理及垂直的定義得到ED與AB垂直,由∠ABE=30°,∠EAB=60°,得到∠AEB為直角,可得出AE與EB垂直,由EA與BC平行,利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到∠EBC為直角,即EB垂直于BC.
解答:解:(1)證明:∵△ABC和△BDE都為等邊三角形,
∴∠EBD=∠ABC=∠DCB=60°,EB=DB,AB=BC,
∴∠EBD-∠ABD=∠ABC-∠ABD,即∠ABE=∠CBD,
在△EBA和△DBC中,
,
∴△EBA≌△DBC(SAS),
∴∠EAB=∠DCB=60°,又∠ABC=60°,
∴∠EAB=∠ABC,
∴EA∥BC;
(2)圖中的垂直關(guān)系為:BD⊥AC,AB⊥ED,AE⊥EB,EB⊥BC.
點評:此題考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),以及平行線的判定與性質(zhì),熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知△ABC是邊長為4的正三角形,AB在x軸上,點C在第一象限,AC與y軸交于點D,點A精英家教網(wǎng)的坐標(biāo)為(-1,0).
(1)寫出B,C,D三點的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過B,C,D三點,求此拋物線的解析式.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC是等邊三角形,AB交⊙O于點D,DE⊥AC于點E.
(1)求證:DE為⊙O的切線.
(2)已知DE=3,求:弧BD的長.

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精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC是等邊三角形,E是AC延長線上一點,選擇一點D,使得△CDE是等邊三角形,如果M是線段AD的中點,N是線段BE的中點,
求證:△CMN是等邊三角形.

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(2012•襄城區(qū)模擬)如圖,已知△ABC是等邊三角形,D、E分別在邊BC、AC上,且CD=CE,連接DE并延長至點F,使EF=AE,連接AF、BE和CF.
(1)求證:△BCE≌△FDC;
(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•奉賢區(qū)二模)如圖,已知△ABC是等邊三角形,點D是BC延長線上的一個動點,以AD為邊作等邊△ADE,過點E作BC的平行線,分別交AB,AC的延長線于點F,G,聯(lián)結(jié)BE.
(1)求證:△AEB≌△ADC;
(2)如果BC=CD,判斷四邊形BCGE的形狀,并說明理由.

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