Question

如圖，拋物線關于直線對稱，與坐標軸交于三點，且，點在拋物線上，直線是一次函數的圖象，點是坐標原點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線平分四邊形的面積，求的值．

（3）把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線與直線交于兩點，問在軸正半軸上是否存在一定點，使得不論取何值，直線與總是關于軸對稱？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．

                                            

Answer 1

（1）因為拋物線關于直線x＝1對稱，AB＝4，所以A(－1，0)，B(3，0)，

由點D(2，1．5)在拋物線上，所以，所以3a＋3b＝1．5，即a＋b＝0．5，

又，即b＝－2a，代入上式解得a＝－0．5，b＝1，從而c＝1．5，所以．

（2）由（1）知，令x＝0，得c(0，1．5)，所以CD//AB，

令kx－2＝1．5，得l與CD的交點F()，

令kx－2＝0，得l與x軸的交點E()，

根據S_{四邊形OEFC}＝S_{四邊形EBDF}得：OE＋CF＝DF＋BE，

即

（3）由（1）知

所以把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為

假設在y軸上存在一點P(0，t)，t＞0，使直線PM與PN關于y軸對稱，過點M、N分別向y軸作垂線MM₁、NN_1，垂足分別為M₁、N₁，因為∠MPO＝∠NPO，所以Rt△MPM₁∽Rt△NPN₁，

所以，………………(1)

不妨設M(x_M，y_M)在點N(x_N，y_N)的左側，因為P點在y軸正半軸上，

則（1）式變?yōu)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/06/11/04/2014061104561155775322.files/image112.gif'>，又y_M ＝k x_M－2， y_N＝k x_N－2，

所以（t＋2）(x_M ＋x_N)＝2k x_M x_{N，……}(2)

把y＝kx－2(k≠0)代入中，整理得x²＋2kx－4＝0，

所以x_M ＋x_N＝－2k， x_M x_N＝－4，代入（2）得t＝2，符合條件，

故在y軸上存在一點P（0，2），使直線PM與PN總是關于y軸對稱．