Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過點C作CD⊥PA于D．

（1）   求證：CD是⊙O的切線；

（2）   若AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OC．

∵ OC=OA，

∴ ∠OAC= ∠OCA．

∵ AC平分∠PAE，

∴ ∠DAC= ∠OAC，

∴ ∠DAC= ∠OCA，

∴ AD∥OC．

∵ CD⊥PA，

∴ ∠ADC= ∠OCD=90°，

即 CD⊥OC，點C在⊙O上，

∴ CD是⊙O的切線．                 

（2）解：過O作OE⊥AB于E．

∴ ∠OEA=90．°

∵ AB=8，

∴ AE=4．                         

在Rt△AEO中，∠AEO=90°，

∴ AO²=4²+OE²．

∵ ∠EDC= ∠OEA=∠DCO =90°，

∴ 四邊形DEOC是矩形，

∴ OC=DE，OE=CD．

∵ AD:DC=1:3，

∴ 設AD=x，則DC=OE=3x，OA=OC=DE=DA+AE=x+4，

∴ (x+4)²=4²+(3x)²，

解得 x₁=0(不合題意，舍去)，x₂=1．

則 OA=5．

∴ ⊙O的半徑是5．