Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P是弦AC上一動點（不與A，C重合），過點P作PD⊥AB，垂足為D，射線DP交 于點E，交過點C的切線于點F．
（1）求證：FC=FP；
（2）若∠CAB=30°，當(dāng)E是 的中點時，判斷以A，O，C，E為頂點的四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC

∵CF是⊙O的切線，

∴OC⊥CF，

∴∠FCA+∠ACO=90°，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∵PD⊥AB，

∴∠PAD+∠APD=90°，

而∠APD=∠CPF，

∴∠PAD+∠CPF=90°，

∴∠FCP=∠FPC，

∴FC=FP；

（2）解：以A，O，C，E為頂點的四邊形是菱形，

理由如下：

∵∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，從而∠AOC=120°，

∵E是 的中點，

∴∠AOE=∠EOC=60°，

∴△AOE、△EOC均是等邊三角形，

∴AE=AO=OC=CE，

∴四邊形AOCE是菱形．

【解析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出OC⊥CF以及∠OAC=∠OCA得∠FCP=∠FPC，可證得結(jié)論；（2）由∠CAB=30°易得△AOE、△EOC均是等邊三角形，可得AE=AO=OC=CE，易得以A，O，C，E為頂點的四邊形是菱形．