已知一次函數(shù)y1=6x,二次函數(shù)y2=3x2+3,是否存在二次函數(shù)y3=x2+bx+c,其圖象經(jīng)過點(-4,1),且對于任意實數(shù)x的同一個值,這三個函數(shù)對應的函數(shù)值y1,y2,y3都有y1≤y2≤y3成立?若存在,求出函數(shù)y3的解析式;若不存在,請說明理由.
解:存在這樣的實數(shù).
設該實數(shù)是a.
則y1≤y2,即6a≤3a2+3,
解得(a-1)2≥0,
∴a是任意實數(shù),且當a=1時取“=”;
當a=1時,y=6,即點(1,6)滿足y1≤y2≤y3,
將點(1,6)代入二次函數(shù)y3=x2+bx+c,得
6=1+b+c,①
又∵二次函數(shù)y3=x2+bx+c,其圖象經(jīng)過點(-4,1),
∴1=16-4b+c,②
由①②解得,
b=4,c=1,
∴函數(shù)y3的解析式為:y=x2+4x+1;
∴3a2+3≤a2+4a+1,
解得,(a-1)2≤0,
顯而易見,這是錯誤的,所以點a不適合.
所以,不存在這樣的任意實數(shù)a,使y1≤y2≤y3成立.
分析:先假設存在這樣的實數(shù)a,則實數(shù)a也必須滿足y1=y2=y3,所以,在足y1=y2的方程中求的點a的坐標;然后將其代入y3,再與二次函數(shù)y3=x2+bx+c圖象經(jīng)過點(-4,1)這一條件,解得b、c的值,從而解得y3的解析式;最后根據(jù)y2≤y3來解關(guān)于a的不等式,該不等式的值是a取任何實數(shù),不等式都會成立,則存在這樣的實數(shù)a,反之,不存在這樣的實數(shù)a.即假設不成了.
點評:本題綜合考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標的特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.解答此題時,采用了“反證法”來證明a的存在與否.