Question

【題目】如圖所示，若將類似于a、b、c、d四個(gè)圖的圖形稱做平面圖，則其頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)與區(qū)域數(shù)之間存在某種關(guān)系．觀察圖b和表中對(duì)應(yīng)的數(shù)值，探究計(jì)數(shù)的方法并作答．

（1）數(shù)一數(shù)每個(gè)圖中各有多少個(gè)頂點(diǎn)、多少條邊，這些邊圍出多少個(gè)區(qū)域并填表：

平面圖	a	b	c	d
頂點(diǎn)數(shù)(S)		7
邊數(shù)(M)		9
區(qū)域數(shù)(N)		3

（2）根據(jù)表中數(shù)值，寫出平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間的一種關(guān)系為 ；

（3）如果一個(gè)平面圖有20個(gè)頂點(diǎn)和11個(gè)區(qū)域，那么利用（2）中得出的關(guān)系可知這個(gè)平面圖有 條邊．

Answer 1

【答案】（1）填表見解析；（2）S+N-M=1；（3）30.

【解析】試題分析：（1）按照自己熟悉的規(guī)律去數(shù)頂點(diǎn)數(shù)，邊數(shù)以及區(qū)域數(shù)；
（2）4+3-6=1，7+3-9=1，8+5-12=1，10+6-15=1，所以可得到一般規(guī)律：頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)一邊數(shù)=1；
（3）邊數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-1．

試題解析：（1）數(shù)一數(shù)每個(gè)圖中各有多少個(gè)頂點(diǎn)、多少條邊，這些邊圍出多少個(gè)區(qū)域并填表：

平面圖	a	b	c	d
頂點(diǎn)數(shù)(S)	4	7	8	10
邊數(shù)(M)	6	9	12	15
區(qū)域數(shù)(N)	3	3	5	6

(2)觀察表中數(shù)據(jù)可得；4+36=1，7+39=1，8+512=1，10+615=1

∴S+NM=1;(或頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)一邊數(shù)=1)

故答案為：S+NM=1;

(3)由(2)得：邊數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)1=20+111=30.

故答案為：30.